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» Il nous reste à déterminer, pour chaque module n, l'indicateur maxi- 

 mum I. Cette détermination de l'indicateur maximum se trouve intime- 

 ment liée à la recherche des valeurs correspondantes de la base m, valeurs 

 que nous appellerons racines primitives du module n, en généralisant une 

 définition admise par les géomètres pour le cas où ce module est la pre- 

 mière puissance ou même une puissance quelconque d'un nombre premier 

 impair. D'ailleurs la détermination dont il s'agit se déduit aisément des 

 propositions déjà établies, jointes à quelques autres théorèmes que nous 

 allons énoncer. 



» 9° Théorème. Soient n un nombre premier, et X une fonction entière 

 de a:, dans laquelle les coefficients numériques des diverses puissances i\e jc 

 se réduisent à des nombres entiers. Si l'on nomme r une racine de l'é- 

 quivalence 



(22) X ^ o, (niod.ra), 



et X^ un second polynôme semblable au polynôme X, mais du degré im- 

 médiatement inférieur; on pourra choisir ce second polynôme demanièr'e 

 que l'on ait, pour toute valeur entière de x , 



(23) X = (a; — r) X^, (mod. n). 



» Démonstration. En effet, soit R ce que devient X pour j:= r. La diffé- 

 rence X — R sera divisible algébriquement par x — /■, et le quotient 

 sera un polynôme X, semblable au polynôme X , mais du degré immédia- 

 tement inférieur. Comme on aura d'ailleurs identiquement 



X— R = (a7 — /•) X,, 



et de plus, 



R ^ o, (motl. n), 



on en conclura, en attribuant à x une valeur entière quelconque, 



X ^ (x — 7) X^, (niod. n). 



» Corollaire i". En vertu de la formule (a3), l'équivalence (22), réduite à 



{x — /•) X^ Si o , (mod. n) , 



