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 se décomposera en fleiix autres , savoir : 



(24) X — r=o, X, = 0, mod./z). 



Il est d'ailleurs aisé de voir que le coefficient de la plus haute puissance deo- 

 restera le même dans les deux polynômes X, X,. Cela posé, concevons 

 que, ce coefficient étant premier au module «, la racine r se réduise à 

 l'un des entiers inférieurs à ce module, et nommons 



/ , / , / 9 • • • 



les diverses racines de l'équivalence (22), représentées par divers entiers 

 inférieurs à n. Une racine r' distincte de r, ne pouvant vérifier la première 

 des formides (24), vérifiera nécessairement la seconde. Si d'ailleurs le poly- 

 nôme X est du premier degré ou de la forme ax-\-b, a étant premier 

 à n, on aura 



X, = a ; 



et, la seconde des formules (24) ne pouvant être vérifiée, l'équation (21) 

 n'admettra point de racine distincte de r et inférieure à n. Si le poly- 

 nôme X est du second degré, alors, le polynôme X, étant ih\ premier 

 degré , la seconde des formules (24) admettra une seule racine infé- 

 rieure à «, et par suite l'équation (22) admettra au plus deux racines dis- 

 tinctes inférieures à n. En continuant ainsi à faire croître le degré du 

 polynôme X, on déduira évidemment des formules (a/j) la proposition 

 suivante. 



» la". Théorème. Soient n un nombre premier, et X une fonction en- 

 tière de JT, dans laquelle les coefficients numériques des diverses puissances 

 (le X se réduisent à des nombres entiers, le coefficient de la puissance la 

 plus élevée étant premier au module n. Le degré du polynôme X ne 

 pourra être surpassé par le nombre des racines distinctes et inférieures à n 

 qui vérifieront l'équivalence 



X^ o, (mod. «). 



» CowUaire i". Le module n étant un nombre premier, et I étant l'in- 

 dicateur maximum relatif à ce module , chacun des nombres 



I, 2 , O,. , , , 71 I, 



