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 ne sont eux-mêmes que des cas particuliers des théorèmes généraux aux- 

 quels je suis parvenu. Pour donner une idée de ces derniers, considérons 

 une intégrale relative à la variable x. Si l'on établit entre cette variable .x 

 et une autre variable t une relation exprimée par une équation algébrique 

 ou transcendante, on pourra transformer l'intégrale relative à .r en une 

 intégrale relative à /, et considérer, en conséquence, l'intégrale donnée 

 non plus comme une fonction de x, mais comme une fonction de t. Or 

 la fonction de t dont il s'agit pourra prendre diverses formes si l'équation 

 algébrique ou transcendante, étant résolue par rapport à se, fournit diverses 

 valeurs de x. Alors, en adoptant successivement ces diverses valeurs de x, 

 et supposant l'intégrale relative à t prise, dans tous les cas, entre les mêmes 

 limites, on verra cette intégrale acquérir successivement diverses valeurs 

 <lont la somme i' aura pour dérivée un résidu intégrai relatif à la variables, 

 considérée comme racine de l'équation algébrique ou transcendante. 

 D'ailleurs il suffira d'appliquer à ce résidu intégral l'opération qui, dans 

 le calcul des résidus, est analogue à l'intégration par parties, pour que la 

 somme s se décompose immédiatement en deux termes dont les valeiu's 

 pourront se calculer facilement, dans un grand nombre de cas , et s'exprimer 

 soit à l'aide de fonctions algébriques ou logarithmiques, soit même à 

 l'aide de fonctions transcendantes. De ces deux termes l'un aura pour 

 dérivée un résidu intégral relatif à toutes les valeurs de x qui pourront 



rendre infinie la fonction placée après le signe <£.. Par conséquent ce résidu 

 intégral se réduira souvent à zéro, ou à une constante, ou du moins à un 

 résidu partiel relatif à une valeur nulle de la variable auxiliaire. Quant à 

 la dérivée de l'autre terme , elle sera représentée par un résidu intégral 

 relatif, non plus aux racines de l'équation algébrique ou transcendante, 

 mais aux valeurs de x qui rendront infinie la dérivée du premier membre 

 de cette équation, ou la fonction placée sous le signe /, dans l'intégrale 

 donnée relative à la variable x. 



» Lorsque l'équation donnée entre x et t a pour premier membre une 

 fonction rationnelle et entière de ces variables, lorsque d'ailleurs la fonc- 

 tion placée sous le signe / dans l'intégrale relative à x est algébrique, la 

 décomposition de la somme s en deux parties, et la détermination de chacune 

 d'elles, peuvent se déduire des propriétés des fractions rationnelles, jointes 

 aux formules qui servent à calculer les fonctions symétriques des racines 

 d'une équation. Alors la méthode ci-dessus indiquée se réduit, comme on de- 

 vait s'y attendre, à celle qu'Abel a employée, par conséquent à celle qu'ont 



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