C 874 ) 



suivie, à l'exemple d'Abel, M. Broch, M. Richelot et d'autres auteurs, soit 

 dans le Journal de M. Crelle, soit dans un Mémoire récemment approuvé 

 par l'Académie. Mais les formules générales auxquelles je parviens ne sup- 

 posent point que les fonctions dont il s'agit ici restent rationnelles ou algé- 

 briques. Elles sont applicables, sous les conditions indiquées par le calcul 

 des résidus, au cas où ces fonctions deviennent transcendantes; et elles 

 fournissent alors la valeur de la somme s, ou développée en série, ou même 

 très souvent exprimée sous forme finie. 



11 Au reste, il était naturel de rechercher si des formules analogues à 

 celles que présente la théorie des fonctions elliptiques ne s'appliqueraient 

 pas à d'autres espèces de fonctions. C'est , après la lecture du Mémoire 

 de M. Broch, que la pensée d'appliquer à cette recherche le calcul des ré- 

 sidus m'est venue à l'esprit, comme je l'ai dit à cet auteur au moment 

 où il me disait lui-même qu'il se proposait de montrer comment on pouvait 

 appliquer les méthodes employées par lui , et surtout , je crois, la méthode 

 exposée dans la seconde partie de son Mémoire, à la réduction des in- 

 tégrales qui renferment des exponentielles, et spécialement à la réduction 

 des intégrales eulériennes. Dans de semblables recherches, le calcul des ré- 

 sidus est très utile. En effet, les principes de ce calcul, tels que je les ai 

 posés dans les Exercices de Mathématiques , montrent clpirement l'ori- 

 gine et la nature des diverses modifications que les formules doivent subir 

 suivant la nature des fonctions sur lesquelles on opère, et ils font connaître 

 aussi les conditions sous lesquelles subsiste chaque formule. J'ajouterai en- 

 core que, dans le cas où la somme ci-dessus désignée par s, et composée 

 d'intégrales relatives à t, se réduit à la somme de quelques-unes de ces 

 intégrales, le calcul des résidus fournit le moyen, sinon de la déterminer, 

 au moins de la transformer. J'ajouterai enfin que des formules , déduites du 

 même calcul , s'appliquent à la tiétermination d'intégrales dont les déri- 

 vées renfermeraient une ou plusieurs fonctions implicites de la variable 

 principale. 



«Je me bornerai aujourd'hui à joindre à cette exposition qixelques-unes 

 (les formules générales que j'ai annoncées. Dans d'autres articles, je déve- 

 lopperai ces mêmes formules et je présenterai une partie de leurs nom- 

 breuses applications. 



ANALYSE. 



M Soit i(x) une fonction de la variable x. .Si le résidu partiel de 



