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GÉOMÉTRIE. - Rapport sur un Mémoire de M. Steine,. , intitulé : Sur 

 le maximum et le minimum des figures clans le plan , sur la sphère et 

 dans l'espace en général. 



(Commissaires, MM. Cauchy, Sturm , LiouviUe rapporteur.) 



« L'Académie nous a chargés, M. Cauchy, M. Sturm et moi, de lui faire 

 un rapport sur un Mémoire de M. Steiner, relatif aux maxima et minima 

 des figures géométriques. Ce Mémoire roule principalement sur les fJgnres 

 planes et spher.ques que l'auteur traite à la fois par une méthode simple et 

 uniforme : c'est la première partie d'un travail très étendu qu'il publiera 

 bientôt et où .1 développera d'autres méthodes à l'aide desquelles on peut 

 aborder les questions analogues pour des aires ou des volumes quel- 

 conques. ^ 



» Après avoir rappelé que sur un plan , ,° le triangle isoscèle est maxi- 

 mum entre tous les triangles de même base et de même périmètre- p" le 

 triangle rectangle est maximum entre tous les triangles qui ont deux côtés 

 donnes, M. Steiner observe que le premier de ces deux théorèmes s'étend 

 de lu.-memeà la sphère, mais que le second doit être, comme on sait, un 

 peu modifie, le triangle maximum étant alors celui dont l'angle compris 

 entre les côtés donnés, est non pas droit, mais égal à la somme des angles 

 a la base ; et pour le faire voir il se sert d'une belle propriété des triangles 

 spheriques de même base et d'aires équivalentes que Lexell avait démon- 

 trée en partie, mais qui se trouve ici complétée d'une manière très heu- 

 reuse. Des calculs de Lexell, fondés sur les formules de la trigonométrie, 

 résultait en effet cette conséquence, que les sommets des triangles sphe- 

 riques dont il s'agit sont tous situés sur une circonférence de cercle. Or 

 la méthode purement géométrique et bien plus simple de M. Steiner 

 prouve, en outre, que celte circonférence passe toujours par les deux 

 points diamétralement opposés aux extrémités de la base. Ainsi complété 

 par un énoncé plus précis , le théorème de Lexell devient tout à la fbis plus 

 élégant et beaucoup plus utile. 



» Déjà M. Steiner en avait fait la base d'un Mémoire relatijàla transfor- 

 mation et à la division des figures géométriques , qui a paru en 1827, dans 

 le Journal de M. Crelle , et qui avait pour but de rapprocher les opérations 

 de la géométrie sphériquede celles de la géométrie plane. Dans le Mémoire 

 dont nous rendons compte aujourd'hui, ce même théorème sert aussi à 



C. R., 1841, 1" Semestre, {T. XII, N" 21.) 1 26 



