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rendre semblables entre elles, et pour ainsi tiire iflentiques, les démonstra- 

 tions pour les âgiires planes et celles pour les figures sphériques. Aussi 

 l'autetu" se borne le plus souvent à énoncer les théorèmes pour les figures 

 planes quand on passe ensuite aux figures sphériques, on a à peine be- 

 soin de changer cà et là quelques mots. 



» Après avoir établi les lemmes préliminaires que nous venons de rap- 

 porter, M. Steiner s'occupe de la démonstration d'un théorème qu'il 

 nomme théorème principal , et qui mérite en effet ce nom, puisque l'auteur 

 eu tire presque immédiatement tous les autres. Il s'agit de trouver la 

 courbe fermée qui, sous un périmètre donné, comprend la plus grande aire 

 possible. L'aire d'une figure quelconque étant toujours contenue dans celle 

 (In cercle décrit d'un des points de son périmètre comme centre avec im 

 rayon égal à la moitié de ce périmètre, il s'ensuit qu'avec un périmètre 

 donné l'aire ne peut pas grandir au-delà d'une ceilaine limite: il y a donc une 

 ou plusieurs figures pour lesquelles l'aire est la plus grande possible , et 

 l'on voit d'abord que ces figures ne peuvent avoir aucune partie rentrante, 

 puisqu'en remplaçant chaque partie rentrante par une partie égale en 

 saillie on agrandirait l'aire sans allonger le périmètre. En général , la figure 

 maximum doit jouir de cette propriété qu'on ne puisse pas en augmenter 

 l'aire en altérant sa forme sans augmenter son |>érimètre. On sait du reste, 

 depuis longtemps, que cette figure maximum est un cercle; mais la dé- 

 monstration très directe, très rigoureuse et parfaitement simple de M. Steiner, 

 mérite d'être rapportée. 



» Partons d'un point A pris à volonté sur le périmètre d'une figure 

 maximum; transportons-nous, le long de ce périmètre, jusqu'au point B 

 qui le partage en deux parties d'égales longueurs : la droite AH devra 

 partager aussi l'aire de la figure en deux parties a, ,ô équivalentes entre 

 elles, car si l'une de ces deux parties (œ par exemple) était plus grande 

 que l'autre, il suffirait de la reproduire de l'autre côté de AB pour obtenir 

 une aire a* plus grande, sous un périmètre égal , que la primitive (o!-t-/3), 

 qu'on prétendait être un maximum. 



» Il faut donc admettre que la droite AB, qui divise eu deux par- 

 ties d'égales longueurs le périmètre de la figure maximimi, partage aussi en 

 deux parties équivalentes l'aire de cette figure. Cela étant, je prends sur 

 l'une des moitiés du périmètre, sur celle qui termine la partie a. par exefliple, 

 un point M quelconque que je joins aux deux extrémités A et 15 de la base 

 par deux droites AM, BM, et je disque le triangle ainsi obteini sera rectangle 

 en M. Car dans le cas contraire, on aurait une figure isopérimetre plus 



