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 grande que 2a, c'est-à-dire plus grande que la figure maximum^ en 

 construisant avec les deux côtés AM et BM du triangle AMB un nou- 

 veau triangle, rectangle en M, reproduisant ce triangle symétriquement de 

 l'autre côté de AB , puis ajoutant en saillie, sur les côtés AM , AM et BM, BM 

 de nos deux triangles rectangles, les segments placés sur les côtés de même 

 nom dans la figure primitive. La figure ainsi obtenue aura évidemment 

 im périmètre égal au périmètre de la figure primitive, et en même temps 

 elle aura une aire plus grande, car sa moitié au-dessus de AB surpasse la 

 moitié a. de la figure primitive, le triangle rectangle AMB étant plus grand 

 que le triangle non rectangle qui a les deux mêmes côtés AM, BM. 



» Ainsi tous les triangles qu'on peut construire en joignant un point M 

 quelconque du périmètre aux extrémités de la base fixe A B sont rectangles 

 en M: ce périmètre est dès-lors une circonférence de cercle décrite sur 

 AB comme diamètre, C. Q. F. D. 



» La démonstration que nous venons de donner est relative aux figures 

 planes. Pour l'étendre aux figures sphériques , il suffit de changer les droites 

 AB, AM, BM en des arcs de grand cercle, et de remplacer conformément 

 à ce qu'on a liit plus haut, les mots triangle rectangle par ceux-ci : triangle 

 dont l'angle au sommet est égala la somme des angles à la hase. Ce dernier 

 triangle jouit au reste, comme le triangle rectangle plan, de cette propriété 

 que le cercle circonscrit ou qui passe par les trois sommets a son centre 

 au milieu de la base. 



» Les exemples suivants montreront avec quelle facilité le théorème 

 principal conduit l'auteur aux théorèmes connus sur les polygones plans 

 ou sphériques , théorèmes que l'on place ordinairement et très mal à propos 

 avant celui-là. 



» Inscrivons dans un cercle un polygone quelconque, puis comparons ce 

 polygone à tous les polygones inscriptibles ou non qu'on pourrait cons- 

 truire avec les mêmes côtés en altérant d'une manière quelconque et la 

 grandeur des angles et l'ordre dans lequel les côtés se succèdent. L'aire 

 commune de tous les polygones inscrits sera un maximum, car sans cela , 

 en appliquant sur les divers côtés d'un polygone non inscriptible ayant une 

 aire plus grande, les segments correspondants du cercle primitif, on for- 

 merait une figure nouvelle ayant un périmètre égal au périmètre de tf 

 cercle et une aire plus grande, ce qui est absurde. 



» Donc tout poljgone maximum entre ceux que l'on peut construire 

 avec des côtés donnés, est inscriptible dans un cercle. 



» D'ailleurs, si l'on compare les divers polygones de même périmètie et 



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