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 d'un nombre donné de côlés, il est aisé de voir que le plus grand parmi 

 euxatous ses côtés égaux; en effet, si deux côtés consécutifs étaient inégaux, 

 on agrandirait l'aire du polygone en remplaçant par un triangle isoscéle de 

 même base et de même périmètre, le triangle non isoscéle formé par les 

 deux côtés dont il s'agit et par la droite qui joint leurs extrémités. 



» On voit par- là que, de tous les polygones isopérimètres d'un nombre 

 donné de côtés, celui dont l'aire est la plus grande doit à la fois être ins- 

 criptible au cercle et avoir ses côtés égaux. Ce polygone maximum doit donc 

 être régulier. 



» Pour comparer les polygones réguliers entre eux, et pour prouver qu'à 

 périmètre égal, l'aire de ces polygones augmente en raéme temps que le 

 nombre de leurs côtés, M. Steiner observe, avec raison, qu'un polygone 

 régulier de cinq côlés, par exemple, peut être considéré comme un 

 hexagone irrégulier dont un côté est nul, ou dont deux côtés sont en ligne 

 droite; remarque bien simple, à laquelle certains auteurs n'ont suppléé 

 que par de longs raisonnements ou de longs calculs. 



» On établira tout aussi aisément les propriétés de maximum dont jouit 

 la partie de cercle comprise entre deux ou plusieurs cordes et les arcs in- 

 termédiaires. 



» Pour les polygones circonscrits, on a des théorèmes analogues aux 

 précédents, mais qui paraissent d'abord plus difficiles à démontrer, surtout 

 pour la sphère. Cependant, après avoir établi certaines propositions pré- 

 liminaires très simples, M. Steiner n'a besoin que de quelques lignes pour 

 exposer complètement et avec clarté chacune de ses démonstrations. Il 

 traite avec le même bonheur les questions les plus composées; l'encliaine- 

 ment des propositions est si naturel, qu'il devient souvent inutile d'ajouter 

 à l'énoncé une démonstration en règle. Les théorèmes découlent, pour 

 ainsi dire, spontanément les uns des autres, et l'on est bien surpris de 

 trouver à la tin presque évidentes les belles propositions contenues dans 

 les dernières pages du Mémoire, propositions dont on a pu lire les énoncés 

 dans un de nos Comptes rendus (séance du i5 mars 1841). Ces mêmes 

 propositions, isolées du reste de l'ouvrage et présentées à part, auraient 

 assurément offert de grandes difficultés aux plus habiles géomètres, sur- 

 tout s'ils avaient voulu les aborder par les méthodes analytiques. Ajou- 

 tons toutefois que ces méthodes, dont M. Steiner n'a point fait usage, 

 trouveront aussi leur emploi dans ce genre de questions. Elles serviront à 

 approfondir certains détails pour lesquels la méthode purement géonjé- 

 trique semble insuffisante. L'auteur le reconnaît lui-même. Quoiqu'il ait 



