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Deux des membres de la Commission déclarent avoir vu les expériences 

 de M. Longet. 



ARALTfSK MATHÉMATIQUE. — Recherchcs sur le calcul des résidus; par 



M. G. OLTR\MAnE. 



(Commissaires, MM. Cauchy, Sturm.) 



« Le calcul des résidus, dont M. Cauchy a posé, en 1826, les premiers 

 principes dans ses Exercices de Mathématiques^ a, depuis cette époque, 

 fait tant de progrès, qu'on ne peut lui refuser maintenant une place im- 

 portante dans l'analyse. Ce calcul aussi fécond que simple a, dans les 

 mains de son illustre auteur, donné successivement les formules les plus 

 remarquables. On en déduit immédiatement la formule d'interpolation 

 due à Lagrange, ainsi que son théorème; il fournit des moyens faciles et 

 directs pour la sommation d'une multitude de séries; il a été employé avec 

 succès à l'intégration de plusieurs équations, et à la solution de questions 

 que tout autre calcul n'avait pu résoudre. C'est ainsi, par exemple, qu'il 

 en est résulté pour la détermination de la valeur des intégrales définies, des 

 formules extrêmement précieuses, plus générales que celles que l'on avait 

 données jusque-là, et qui, non-seulement résumaient presque tout ce que 

 l'on connaissait sur cette matière, mais encore donnaient la valeur de plu- 

 sieurs intégrales nouvelles et fort curieuses; mais ce qui paraît surtout 

 devoir recommander ce calcul à l'attention des géomètres, c'est son appli- 

 cation à la solution des problèmes de physique mathématique. 



» Engagé moi-même par M. Cauchy à approfondir une méthode qui 

 our lui avait été d'un si puissant secours, j'ai été assez heureux pour 

 parvenir à des résultats qui me paraissent mériter quelque intérêt : ces 

 théorèmes, outre leur emploi direct à la solution de certaines questions, 

 me semblent devoir établir un lien commun entre différentes propositions 

 qui d'abord paraissaient ne point dépendre les unes des autres. 



» Pour énoncer et démontrer avec plus de facilité les théorèmes oui 

 nous occupent, je me suis vu dans l'obligation d'introduire dans le calcul 

 un nouveau genre de fonctions que j'ai désignées sous le nom de Jonc- 

 tions inverses, et qui ne sont autre chose que les racines d'une équation 



<p(z) = u, 

 dans l'expression desquelles je remplace la fonction u par sa variable z^ 



