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grales définies ou indéfinies, peuvent être facilement étendues, comme je 

 l'ai dit, au cas où les dérivées des intégrales renferment une ou plusieurs 

 fonctions implicites de la variable x à laquelle l'intégration se rapporte. 

 L'extension dont il s'agit est l'objet du nouveau Mémoire que j'ai l'honneur 

 de présenter aujourd'hui à l'Académie. 



» Je considère d'abord le cas général où la variable x est bée à d'autres 

 variables 



j, z,. ■ ., t, 



par des équations algébriques ou transcendantes, en vertu desquelles les 

 variables _^, s,..., t deviennent des fonctions implicites de x. Si ces 

 mêmes équations permettent d'exprimer en fonctions continues des seules 

 variables x, t, chacune des variables j^, z,. . . , les principes établis dans 

 le précédent Mémoire fourniront le moyen de déterminer ou de trans- 

 former une intégrale dont la dérivée serait fonction continue de toutes 

 les variables, ou du moins la somme s des valeurs de cette intégrale qui 

 correspondront aux diverses valeurs de la variable x considérée comme 

 fonction de /. On doit surtout remarquer le cas où une seule des équations 

 ilonnées renferme la variable t, et où les autres équations renferment 

 seulement les variables j, z,. . . considérées comme fonctions implicites 

 de X. Dans ce cas, et sous les conditions indiquées par le calcul des ré- 

 sidus, la somme s s'obtient en termes finis, et se trouve exprimée par des 

 fonctions algébriques et logarithmiques de t. La formule qui la détermine 

 comprend elle-même, comme cas particuliers, les belles formules d'Euler, 

 de Lagrange et d'Abel, relatives aux transcendantes elliptiques et aux in- 

 tégrales dont les dérivées renferment les racines d'une équation algébri- 

 que, par exemple, la formule à laquelle Abel est parvenu dans le Mémoire 

 couronné par l'Académie. Pour tirer ces diverses formules de celle que 

 j ai obtenue, il suffit de réduire les équations données à des équations 

 algébriques, et les diverses fonctions implicites à ime seule, par exemple 

 à un seul radical du second degré ou d'un degré plus élevé. Mais il im- 

 porte d'observer que je détermine la somme s, lors même que les équa- 

 tions données deviennent transcendantes, et lorsque la dérivée de l'inté- 

 grale que l'on considère renferme plusieurs fonctions implicites de la 

 variable x, par exemple, plusieurs radicaux de même degré ou de degrés 

 inégaux. 



