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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la nature et les propriétés des 

 racines dune équation qui renferme un paramètre variable; par 

 M. AuG. Caucut. 



« Les racines d'une équation qui renferme deux variables x, t, et que 

 l'on résout par rapport à la variable x , ou, ce qui revient au même, les 

 racines d'une équation qui renferme, avec l'inconnue x, un paramètre 

 variable t, jouissent de diverses propriétés qu'il importe de bien connaître. 

 L'une de ces propriétés est que ces racines sont généralement des fonc- 

 tions continues du paramètre variable, en sorte qu'elles varient avec ce 

 paramètre par degrés insensibles. Il en résulte que, si , en vertu de la va- 

 riation du paramètre, une racine réelle vient à disparaître, elle sera im- 

 médiatement remplacée par des racines imaginaires. Cette dernière pro- 

 position n'est pas à beaucoup près aussi évidente qu'elle semble l'être au 

 premier abord. Il est d'autant plus nécessaire de la démontrer qu'elle ne 

 subsiste pas sans condition. En effet , puisque la forme de l'équation entre 

 X et t est entièrement arbitraire, rien n'empêche de donner pour ra- 

 cine X à cette équation une fonction discontinue du paramètre t, par 

 exemple, la fonction 



et il est clair que, dans ce dernier cas, x variera très sensiblement, en 

 passant d'une valeur très petite à une valeur très grande, si le paramètre t, 

 en demeurant très voisin de zéro, passe du négatif au positif. 



» Pour que l'on soit assuré que la racine x, considérée comme fonction 

 du paramètre t, reste continue dans le voisinage d'une valeur particulière 

 attribuée à ce paramètre, il suffit (|ue le premier membre de l'équation 

 donnée reste lui-même fonction continue des deux variables x , t, dans le 

 voisinage de la valeur particulière de t, et de la valeur correspondante 

 de X. C'est ce que je démontre, eu m'appuyant sur un théorème que j'ai 

 donné dans un Mémoire présenté à l'Académie de Turin le 27 novem- 

 bre i83i. De ce théorème, qui détermine, pour une équation algébrique 

 ou transcendante, le nombre des racines réelles ou imaginaires assujéties 

 à des conditions données, je déduis immédiatement la continuité de la 

 fonction de t qui représente la racine jr de l'équation donnée entre x et t; 

 et j'en conclus par exemple que, si, cetle équation étant réelle, plusieurs 



