( ii34 ) 



racines réelles égales viennent à disparaître, elles se trouveront générale- 

 ment remplacées par un pareil nombre de racines imaginaires. 



n Le premier paragraphe du présent Mémoire est relatif à des équations 

 enlrexett, de forme quelconque. Dans le second paragraphe je consi- 

 dère des équations d'une forme particulière, savoir, celles qui fournissent 

 immédiatement la valeur de t en fonction de x. Parmi les èqualions de ce 

 ^enre, on doit surtout remarquer celles qui donnent pour t une fonction 

 réelle et rationnelle dejT. Une semblable équation, résolueparrapportà j:, ne 

 peut avoir constamment toutes ses racines réelles, pour une valeur réelle 

 quelconque de f, que sous certaines conditions, dont l'une est que les degi'és 

 des deux termes de la fraction rationnelle soient égaux, ou diffèrent entre 

 eux d'une seule imité. Les autres conditions consistent en ce que les deux 

 termes, égalés à zéro, fournissent deux nouvelles équations, dont toutes 

 les racines soient réelles et inégales, et que la suite de toutes ces racines 

 réunies, et rangées d'après leur ortire de grandeur, offre alternativement 

 une racine de l'une des deux; nouvelles équations, puis une racine de 

 l'autre. Lorsque ces diverses conditions sont remplies, on peut être assuré 

 non-seulement que l'équation proposée, résolue par rapport à x, a toutes 

 ses racines réelles et inégaies pour une valeur quelconque de /, mais en- 

 core que chacune de ces racines, pour une valeur croissante de t, est tou- 

 jours croissante ou toujours décroissante, tant qu'elle reste finie. Quelques 

 propositions établies par M. Richelot (voir le Jnnrnnl de M. C relie , 

 tome XXI, page 3i3') se trouvent comprises dans celles que je viens d'é- 

 noncer. 



)i Me proposant de publier dans les Exercices tT /Jnalyse el de PJiysique 

 mathématique le Mémoire dont l'objet vient d'être indiqué, je me b(jrnerai 

 à énoncer ici les principaux théorèmes qui s'y trouvent renfermés, et qui 

 pour la plupart se déduisent les uns des autres, en omettant les démons- 

 trations que l'on retrouvera sans beaucoup de peine, surtout si l'on a égard 

 à l'ordre dans lequel ces tliéorémes sont présentés. 



§ !"■. Considérations générales. 



» Dans le premier paragraphe, j'établis successivement les théorèmes 

 suivants. 



