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 résolue, soit par rapport à t, soit par rapport à x, peut, dans une hy- 

 pothèse comme dans l'antre, fournir ou une seule racine ou pk.sieurs ra 

 cnies diverses. Concevons, pour fixer les idées, que l'équation (,), résolue 

 par rapport à x, fournisse diverses racines 



X = x„ X = x^,..., 



représentées par des fonctions de t qui se réduisent aux quantités 



? = e., ? = e., ..., 



dans le cas particulier où l'on suppose i= r. Puisque les deux variables 

 oc, t doivent, entre les limites de l'intégration , rester fonctions continues 

 lune de 1 autre, il est clair qu'à chaque valeur de x considérée comme 

 fonction de t, répondra, dans la formule (3), une seule valeur de t con- 

 sidérée comme fonction de^. Mais aux diverses valeurs de x, considérées 

 comme fonction de i, correspondront généralement diverses valeurs de 

 1 intégrale 



j^i[X,t)dx; 



et en nommant s la somme de ces valeurs, c'est-à-dire en posant, pour 

 abréger, ^ 



'-^^^ ^ =//' ^{^^ t) dx -i-r'f(^x, t)dx-\- ..., 



on tirera de la formule (3) 



J.^ ((F(z,0) ' 

 ou, ce qui revient au même, 



le signe C étant relatif à la variable auxiliaire z. 



» Avant d'aller plus loin, nous avons une remarque importante à faire. 

 Dans chacune des intégrales que renferme la formule (4), t est considéré 



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