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par développer la fonction proposée en série, on commence par dévelop- 

 per son logarithme népérien, ou obtiendra facilement le développement du 

 logarithme de la n''"" puissance de la fonction, puisque, pour y parve- 

 nir, il suffira de multiplier le développement du logarithme de la fonction 

 par l'exposant n. Alors il ne restera plus qu'à revenir du développement du 

 logarithme de la puissance au développement de la puissance elle-même. A 

 la vérité cette puissance sera représentée par une exponentielle népérienne 

 qui aura pour exposant le développement du logarithme de la puissance. 

 Mais le développement de cette exponentielle en série parait être, au pre- 

 mier abord, uae oj)ération plus compliquée que celle qui consistait à élever 

 à la «'""' puissance la fonction représentée par une série. Toutefois, en 

 réfléchissant attentivement sur cet objet, je suis arrivé à une méthode qui 

 permet de passer facilement de l'expouentielleà son développement, et que 

 je vais indiciuer en peu de mots. 



>' Quand Te logarithme d'une fonction est représenté par une série con- 

 vergente ordotmée suivant les puissances ascendantes d'une seule variable , on 

 peut aisément déduire de cette série celle qui représente la fonction elle- 

 même. En effet, il suffit de multiplier chaque terme de la pi'emière série 

 par l'exposant de la variable dans ce terme, et de diminuer ensuite chaque 

 exposant de l'unité, pour obtenir le développement de la dérivée loga- 

 rithmique de la fonction; et de cette proposition, on conclut immédia- 

 tement fpie les coefficients de la série cherchée sont liés entre eux par 

 des équations linéaires qui permettent, comme l'on sait, de les déduire 

 très-aisément les uns des autres. Or, pour ramener à cette opération , déjà 

 connue des géomètres, le problème qui consiste à développer une fonction 

 d'un certain angle suivant les sinus et cosinus des multiples de cet angle, en 

 supposant connu le développement du logarithme de la fonction, je consi- 

 dère cette fonction comme équivalente au produit de trois facteurs qui ont pour 

 logarithmes respectifs, dans le développement du logarithme de la fonction, 

 r le terme constant; 2° la somme des termes proportionnels aux puissances 

 positives de l'exponentielle trigonométrique dont l'ex'posant est l'angle donné; 

 3° la somme des termes proportionnels aux puissances positives de la même 

 exponentielle. Alors il devient facile de calculerséparémentlefacteur constant 

 et les deux facteurs variables qui doivent fournir un produit équivalent à la 

 fonction cherchée. Il y a plus : le développement de cette fonction se déduit 

 immédiatement de la multiplication algébrique des deux derniers facteurs , 

 et par conséquent ce développement se trouve construit définitivement, à 

 l'aide d'un procédé analogue au procédé si simple qu'Euler a employé pour 



