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et lié au logarithme L{{x) par la formule 



On aura donc, par exemple, 



(i) If (^) = aa -^ a, X -h a^x^ +...+ a^,x~' + a_,x^- +..., 



rt„, a, , «avi <^-)5 «-2,"- désignant des coefficients réels ou imaginaires, et 

 il s'agit de savoir comment on peut , de l'équation (i), déduire le développe- 

 ment de {{x) en une série ordonnée suivant les puissances entières de x. 

 n Si l'on pose , pour abréger, 



(2) M = a„ -i-a,x ■+■ a^x^ +...+ a_, x~' -+- a_„ x'^'^ + . . . , 



l'équation (i) sera réduite à celle-ci, 



lf(^) = «, 



et l'on en conclura 



par conséquent 



(3) f(x)=. 



f(x) = e\ 



1.2.3 



A la rigueur, on pourrait tirer de cette dernière formule le développement 

 cherché, puisqu'à l'aide de multiplications successives, ou de la formule qui 

 fournit la puissance «"■""" du binôme ou plutôt d'un polynôme quelconque, 

 on peut déduire, de l'équation (2), les développements de m^, de w',..., et 

 généralement de u". Toutefois le calcul, ainsi effectué , devient très-pénible 

 quand il s'agit de trouver dans le développement de i{x) le coefficient d'une 



puissance élevée de x ou de -. Mais on peut résoudre facilement ce pro- 

 blème en opérant comme il suit. 



« Décomposons la fonction f (x) en trois facteurs 



qui, étant le premier constant , les deux autres variables, soient déterminés 

 séparément par les formules 



(4) lW = «o, 



(5) l(y) ■= a,x -h a^x^ -h..., I(m') = a_, a:"' -1- a_2X""^ -f-.... 



