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 la formule du binôme donnera 



(i) (i - x)-' = I -I- [s], X + {s\ X^ + 



On a d'ailleurs, en désignant par 9 un nombre que nous supposerons inférieur 

 à l'unité, 



(2) I - 29C0S/J+ 0= = (i -BeP''^) (i - 5e-'"'^), 

 par conséquent 



(3) (i-25cos/^ + Ô=)-'=:(i _9e/"'^)-^(i _ôe-/"'^)-«; 

 et des formules (i), (3), comme Euler en a fait la remarque, on tire 



(4) (i-2Ôcos/J4-e^)-' = 00 + 0, C''^ +0„e^'"'-^ +... 



-f- 0, e-P*^ + 02 e~-'P''-' 4- . . . , 



la valeur de 0„ étant déterminée par la formule 



' « L J« 1^ n-k-\ n-\-\ «-H2 I 



11 y a plus : si dans la formule 



(6) (i - « e """^y (i - Qe-""'^-' = ©0 H- 2 0„ (6"""=^ + e-^p'^y 



on remplace e'' ~* par — - — 7 



on en conclura 



(7) (1- e'"'^-'(i- e''e-P''^)-'=0o+2 0„ {^-"6"^^^ -\-Q"e-"P'^), 



le signe 2 indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs entières , 

 nulle et positives de n. Donc les deux produits 



&n 9-" et 0„ B" 

 seront les coefficients des exponentielles 



dans le développement de l'expression 



(i _ eP'^')-' (i - B-" e-P''^)-' . 



