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 On pourrait, à la rigueur, déduire de cette dernière formule les valeui-s 

 successives de ^-, <^% développées suivant les puissances entières des expo- 

 nentielles 



et les substituer, avec la valeur de ^, dans le second membre de l'équa- 

 tion (8). Ce calcul, qui serait fort long, peut d'ailleurs être abrégé par les 

 considérations suivantes. 

 » Posons 



<p=;h + kcos(i|; — i|j' — a) — bcos(t|; — ê)— b'cos((j>' — ê')+ccos(iji + t)<' — y), 



(ç=iC0S2(j/ -+- i' C0S21J;'. 



La formule (6) donnera 



(il) . »-"=•? + ?; 



et d'ailleurs, en nommant fl, a' les grands axes des orbites décrites par les pla- 

 nètes m, m', on aura 



i=irt='£% i'=ia'*£'% 



en sorte que, pour des excentricités qui ne surpasseront pas -y, les valeurs de 

 i, i' seront généralement assez petites. Cela posé, on tirera de la formule (ii) 



(12) i = p-;+ip-iç+,l^p-^ç-^+...; 



et, comme ç sera très-petit par rapport à p, on pourra réduire la série com- 

 prise dans l'équation (12) à un petit nombre de termes. Il ne s'agira donc 

 plus que de développer ces divers termes suivant les puissances entières des 

 exponentielles 



Or, on pourra évidemment y parvenir à l'aide des formules établies dans les 

 paragraphes précédents. On pourra, en particulier, développer le premier 



terme p ', en opérant comme il suit. 

 11 Posons 



(i3) u = h + k cos(ijj — <L' — a). 



