( 67 ) 



puisque {f)j; et (g)^ s'évanouissent lorsque ces conditions cessent d'être 

 remplies. 



" Les formules (19), (20), (21), sont d'un emploi facile quand les nombres 

 entiers n, «'sont peu considérables. Mais, dans le cas contraire, elles doi- 

 vent être abandonnées, et il convient de leur substituer celles que l'on dé- 

 duit de la méthode logarithmique, établie dans le § I", comme nous l'expli- 

 querons plus en détail dans un prochain article. .. 



CALCUL INTÉGRAL. — Note sur les intégrales eulériennes ; par M. Augustiiv 



Cauchy. 



. 11 semble qu'après les travaux des géomètres sur les intégrales eulériennes, 

 et en particulier sur les fonctions F, il n'y ait plus à s'occuper de celles-ci. 

 Toutefois, je suis parvenu à établir pour l'évaluation de celles qui correspon- 

 dent à de grandes valeurs de la variable, une formule nouvelle qui paraît 

 digne d'être remarquée. D'ailleurs la méthode qui m'a conduit à cette for- 

 mule pourra être appliquée avec succès à la détermination d'autres intégrales, 

 et en particulier de celles que l'on rencontre en astronomie, comme je me 

 propose de le faire voir dans un autre article. 



" On connaît la formule de Stirling pour la détermination approximative 

 du logarithme d'une factorielle qui correspond à de grandes valeurs de la 

 variable, et M. Binet est parvenu à remplacer la série non convergente qui 

 représentait ce logarithme par une série convergente. J'ai été curieux de 

 voir s'il ne serait pas possible de développer dans le même cas la factorielle 

 elle-même en une série convergente dont la loi fût immédiatement donnée. Ce 

 problème me paraissait d'autant plus digne d'intérêt, que la série déduite par 

 Laplace de sa méthode d'approximation pour la détermination des fonc- 

 tions de très-grands nombres procède suivant une loi inconnue, en sorte que 

 l'auteur s'est borné à calculer les deux premiers termes. En réfléchissant sur 

 cet objet, j'ai reconnu que la difficulté du calcul tient ici à ce que l'auteur, en 

 transformant les intégrales par un changement de variable, a supposé la va- 

 riable nouvelle toujours représentée par une fonction linéaire du logarithme 

 (le la fonction sous le signe /. Je trouve un grand avantage à employer des 

 substitutions plus simples, qui -permettent de passer facilement de l'ancienne 

 variable à la nouvelle, et réciproquement. La seule condition à laquelle je 

 m'astreins, est de développer la fonction sous le signe/ en une série dont le 

 premier terme soit sa valeur maximum ou. la valeur minimum d'un de ses 

 facteurs, par exemple d'un facteur élevé à une très-haute puissance. Alors on 



C R , 1344, 2"" S<-r,!«l;e. (T. XIX, ]N»2.) lO 



