COMPTE RENDU 



DES SÉANCES 



DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 



SÉANCE DU LUNDI 15 JUILLET 1844. 



PRÉSIDENCE DE M. CHARLES DUPIN. 



MEMOIBES ET COMMIMICATIOAS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur divers théorèmes relatijs à la 

 convergence des séries ; par M. Augustin Cauchy. 



" .l'ai prouvé qu'une série, ordonnée suivant les puissances ascendantes 

 d'une variable x ^ et produite par le développement d'une fonction de cette 

 variable, reste convergente tant que le module de x est inférieur au plus 

 petit de ceux qui rendent la fonction ou sa dérivée discontinue. On pourrait 

 être tenté de croire que la série cesse toujours d'être convergente à partir du 

 moment où la fonction cesse d'être continue; et c'est en effet ce qui arrive, 

 quand au module qui rend la fonction discontinue, correspond une valeur 

 infinie ou de cette fonction elle-même , ou de l'une de ses dérivées. Mais 

 cette proposition, que j'ai démontrée dans un précédent article, ne saurait 

 être étendue au cas où la fonction cesse d'être continue , sans que l'une de ses 

 dérivées devienne infinie, et l'on peut même énoncer la proposition contraire. 

 Sans doute il paraît étrange, au premier abord, que la série produite par le 

 développement d'une fonction de la variable x puisse demeurer conver- 

 gente , et offrir encore pour somme une fonction continue Ae x , quand, 

 par suite de la variation du module de x, la fonction, dont cette somme 



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