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représentait la valeur, a cessé d'être contiuue. Toutefois il eu est ainsi , comme 

 on le verra dans ce Mémoire , qui a pour but uon-seulement de constater et 

 d'expliquer tout à la fois l'espèce de paradoxe que je viens de signaler, mais, 

 en outre , d'établir des théorèmes généraux relatifs à la détermination des 

 modules des séries ordonnées suivant les puissances entières et ascendantes, 

 ou même ascendantes et descendantes d'une variable x. 



§ \". — Sur les /onctions do?it tes développements restent convergents tandis qu'elles 

 deviennent discontinues. 



>i Concevons qu'une fonction ii de la variable x soit développée en série 

 ordonnée suivant les puissances ascendantes de x. Cette série sera certaine- 

 ment convergente, tant que le module de x demeurera inférieur au plus 

 petit de ceux qui rendent la fonction et sa dérivée du premier ordre infinies 

 ou discontinues. Ainsi, en particulier, si l'on développe en séries les fonctions 



(i — x) ', et l(i — x), 



dont chacune reste continue, tant que la partie réelle de i — jt reste posi- 

 tive, et par suite, tant que le module de x reste inférieur à l'unité, les dé- 

 veloppements obtenus, savoir, 



1 1.3., / .T- x' \ 



1 -\ — X -i 7 X- -h . . . , et — (x -{ h -^ -h . . . ], 



2 2.4 \ 2 6 j 



seront effectivement convergents, tant que le module de x sera au-dessous 

 de l'unité. Les deux fonctions cesseront d'être continues, et les deux séries 

 cesseront d'être convergentes, si le module Ae x devient supérieur à l'unité. 

 Il fjorsque le plus petit module k de x qui rend la fonction u ou sa dé- 

 rivée du premier ordre discontinue, fournit une valeur infinie ou de cette 



fonction elle-même, ou de l'une de ses dérivées, le rapport ^ est le module 



commun des séries qui représentent les développements do la fonction tt 

 de ses dérivées suivant les puissances entières de la variable x. Donc alois 

 ces séries deviennent divergentes dès que le module de x devient supérieur 

 à k, c'est-à-dire à partir du moment où la discontinuité se manifeste dans la 

 fonction u ou dans sa dérivée du premier ordre. 



>) Mais, si le plus petit module k qui rend la fonction ou sa dérivée dis- 



