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continue , fournit une valeur finie de cette fonction et de ses dérivées des 

 divers ordres, le module de x pourra quelquefois croître au delà de r, sans 

 que le développement de la fonction en série ordonnée suivant les puisr 

 sances ascendantes de x cesse d'être convergent. 

 " En effet, supposons, pour fixer les idées, 



(i) u ^=\\ — x"^ -^ x[p. — x'^y >^ — \\ + [i — x° — XI 2 — x^Ysj — ij . 



Pour des valeurs réelles de x, la fonction m, déterminée par l'équation (i), 

 restera continue, tant que la partie réelle de i — x" restera positive, c'est-à- 

 dire tant que l'on aura 



jc-2 < r , 



et deviendra discontinue à partir de l'instant où l'on posera x-=^ \ . On pour- 

 rait donc être tenté de croire que le développement de cette fonction en série 

 ordonnée suivant les puissances ascendantes de x cessera d'être convergent 

 et d'offrir pour somme une fonction continue de x, quand x^ deviendi-a su- 

 périeur à l'unité. Voyons si cette présomption est ou n'est pas conforme à la 

 réalité. 



n On tire de l'équation (i), 



(2) M^ — 3m — 2 f I — x'^) = G. 

 D'ailleurs, comme on a 



u? — 3u — 2 = (« — 2) (m + i)^, 

 l'équation (2) pourra être réduite à 



(3) M =2 — ;^. 



Cela posé, la fonction m, déterminée par la formule (i), sera évidemment 

 celle des racines de l'équation (2) ou (3) qui se réduit au nombre 2 , pour une 

 valeur nulle de x. Or on peut déduire immédiatement de l'équation (3) cette 

 même racine développée en série par la formule de Lagi'ange, et l'on 

 trouve ainsi 



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