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fonctions distinctes qui ne sonî plus identiquement égaies entre elles, pour 

 toutes les valeurs réelles de l'angle p. De ces deux fonctions la seconde seule 



reste continue pour un module de x supérieur à (Z ) , mais inférieur à l'u- 

 nité, et représente constamment, dans cet intervalle, la somme de la série 

 qu'on avait obtenue en développant la première fonction. 



" Les observations faites dans ce paragraphe s'appliquent, à plus forte 

 raison, aux séries ordonnées à la fois suivant les puissances ascendantes et 

 suivant les puissances descendantes d'une même variable x. 



» Au reste, nous ne voudrions pas nous borner à signaler ce qui paraît 

 être, au premier abord, une espèce de paradoxe, sans en offrir l'explica- 

 tion; et, afin que cette explication ne laisse rien à désirer, je donne ici, en 

 peu de mots, la théorie générale des modules des séries, en rappelant d'abord 

 les propositions précédemment établies , et en joignant à leur énoncé la dé- 

 monstration de propositions nouvelles qui sont dignes, ce me semble, de 

 fixer l'attention des géomètres. 



§ II. — Sur les modules des séries considérées en général. 



Soit 



(I) 



U,, M, 



une série dont m„ désigne le terme général correspondant à l'indice n, ce 

 ternie général pouvant d'ailleurs être réel ou imaginaire. Désignons d'ailleurs 

 par la notation 



mod. u„ 



le module de ce terme général, et par u la limite unique, ou du moins la 

 plus grande des limites dont s'approche indéfiniment, pour des valeurs crois- 

 santes du nombre n, l'expression 



I 

 (mod.wj". 



La quantité positive u sera ce que nous appellerons le module de la série (i). 

 D'après ce qui a été démontré dans Y^naljse algébrique, la série sera con- 

 vergente si l'on a 



(2) U < I, 



