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 rieure du module r si , la série étant convergente pour r < k , la somme de 

 cette série devient infinie pour r = k, et pour nue valeur convenablement 

 choisie de l'argument p. 



" Pareillement k sera certainement la limite extrême et supérieure du mo- 

 dule /■ si , la série (6) étant convergente pour / >k , la somme de cette série 

 devient infinie pour /■ ^ k et pour une valeur convenablement choisie de 

 l'argument p. 



» En effet, une série ne peut acquérir une somme infinie sans devenir 

 divergente, et par conséquent sans offrir un module égal ou supérieur à l'u- 

 nité. 



" Lorsque les divers termes d'une série sont fonctions d'une certaine va- 

 riable j?, la nouvelle série qu'on obtient en substituant à chaque terme de la 

 première sa dérivée prise par rapport à x , doit naturellement s'appeler la 

 série dérivée. Concevons, pour fixer les idées, que la première série se ré- 

 duise à la série (5), dont le terme général est a^x", ou même à la série (6) , 

 dont les termes généraux sont 



alors la série dérivée aura pour terme général le produit 



ou bien elle aura pour termes généraux les produits 



— na_„x-"*\ na„x"~'. 

 D'ailleurs , comme on a 



— na_„x-"*' =- nx{a^„x-"), na„x"-' = tix'' (fl_„a--"), 



on en conclut que les deux expressions 



1 I 



(9) [moà.[-na_nX-"*')î\ [moà.ina.x"-')]' 



s approchent indéfiniment , pour des valeurs croissantes de n, des produits 

 que l'on obtient quand on multiplie respectivement les quantités positives 



a r~' et ar 



