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 par les limites des expressions 



(«r)", et (nr-'f. 

 Enfin ces deux limites , qui se confondent avec les limites fixes des rapports 



(n-hi]r I fn-i-ijr-' i 



= I -)- -) = I + -, 



nr n nr-' n' 



se réduisent Tune et l'autre à l'unité. Donc les limites des expressions (9) se 

 réduiront simplement aux produits 



a,/'"' et ar. 



Donc le module ou les modules de la série (5) ou (6) seront en même temps 

 le module ou les modules de la série dérivée. 



>' Nous avons ici supposé que l'on différentiait une seule fois chaque terme 

 de la série donnée (5) ou (6); mais, après avoir ainsi obtenu ce qu'on doit 

 appeler la série dérivée du premier ordre, on pourrait former encore la dé- 

 rivée de celle-ci, puis la dérivée de sa dérivée,..., et l'on obtiendrait alors, 

 à la place de la série (5) ou (6) , des séries dérivées de divers ordres. Or, de ce 

 que nous avons dit tout à l'heure il résulte évidemment que le module ou 

 les modules de toutes ces séries seront précisément le module ou les modules 

 de la série (5) ou (6), 



§ UI. — Sur les modules des séries produites par le développement de fonctions explicites ' 



d'une variable x. 



" Soit i{x) une fonction donnée de la variable réelle ou imaginaire 



x = reP'^\ 

 et représentons par f ' {x) sa dérivée du premier ordre , ou 



D,f(x). 



On peut, comme je l'ai fait voir depuis longtemps, établir la proposition 

 suivante : 



» 1" Théorème. Si i{x)eti'{x) restent fonctions continues de la va- 

 riable x, c'est-à-dire fonctions continues du module r et de l'argument/) de 



ai.. 



