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cette variable, pour toutes les valeurs du module r iuférieuies à une certaine 

 limitai, la fonction f (xjsera, pour chacune de ces valeurs, développable eu 

 une série convergente 



ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable x. 



>i II y a plus , cette proposition peut , suivant la remarque de M. Laurent, 

 être généralisée, et l'on obtient alors le the'orème dont voici l'énoncé: 



" a® Théorème. Si H^) Rt V [x) restent fonctions continues de ^, pour 

 toutes les valeurs du module r de x inférieures à une certaine limite 1, et su- 

 périeures à une autre limite 1,, la fonction i{x) sera, pour chacune de ces 

 valeurs, développable en une série convergente 



(a) ...fl^jjr"^, «^,x"', rto, (itX, «jX^,..., 



ordonnée suivant les puissances entières, ascendantes et descendantes, de la 

 variable x. 



" Au reste, des remarques faites dans le § 1", il résulte que les limites 1, 1,, 

 mentionnées dans les théorèmes (i) et (a), peuvent être distinctes des limites 

 extrêmes k etk, entre lesquelles le module r dex peut varier sans que la sé- 

 rie (i)ou(a) cesse d'être convergente; et ces limites extrêmes sont évidemment 

 celles qu'il importe surtout de connaître. Or, on les déterminera, pour l'or- 

 dinaire, assez facilement à l'aide de deux nouveaux théorèmes qui, se dédui- 

 sant des deux précédents et des principes établis dans le § II, peuvent s'é- 

 noncer comme il suit : 



1. ?)' Théorème. Supposons que f (j:) et f ' (.r) restent fonctions continues 

 de la variable 



X = re'"'^ 



pour toutes les valeurs du module r de cette variable inférieures à une cer- 

 taine limite k. Supposons encore que la fonction f(x) ou l'une quelconque de 

 ses dérivées devienne infinie pour A'=k et pour une valeur convenablement 

 choisie de l'argument p ; alors k sera la limite extrême et supérieure au-des- 

 sous de laquelle le module r pourra varier arbitrairement, sans que la fonc- 

 tion i(x) cesse d'être développable en une série convergente ordonnée suivant 

 les puissances entières et ascendantes de x. 



" 4" Théorème. Supposons que f{x)et('{x) restent fonctions continues 



