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 de la variable 



pour toutes les valeurs du module r de cette variable inférieures à une 

 certaine limite k, et supérieures à une certaine limite k,. Supposons encore 

 que la fonction t(x), ou l'une quelconque de ses dérivées, devienne infinie, 

 1° pour r = k, 2° pour r= k , et pour des valeurs convenablement choisies 

 de l'argument p. Alors k et k, seront les limites extrêmes inférieure et supé- 

 rieure entre lesquelles le module r pourra varier arbitrairement , sans que la 

 fonction f(x) cesse d'être développable en série convergente, ordonnée 

 suivant les puissances entières ascendantes et descendantes de x. 



» Corollaire. Il est clair que, si la fonction i {x) devenait infinie pour 

 une seule des valeurs de r représentées par k, k^, on connaîtrait une seule 

 des limites extrêmes du module r. 



" Pour montrer une application du 3" théorème, considérons d'abord les 

 fonctions 



( I ■+- x)' , arc sin x , arc tang x. 



Ces trois fonctions restent continues, tant que le module r de x reste infé- 

 rieur à l'unité. De plus, leurs trois dérivées du premier ordre, savoir , 



-l(i-HJr)'^ 



deviennent infinies , la première pour x = — i , la seconde pour x=: ± 1 , la 

 troisième pourx= ±\ — i , et par conséquent toutes trois deviennent infi- 

 nies pour r=ï. Donc, en vertu du 3° théorème, l'unité sera la limite supé- 

 rieure au-dessous de laquelle le module r pourra varier, sans que les trois 

 fonctions 



[i+x]', arc sin a?, arctangjr 



cessent d'être développables en séries convergentes ordonnées suivant les 

 puissances ascendantes de x. 



" Considérons encore la fonction représentée parle produit 



{i-xY (2-xf. 

 Elle restera continue pour une valeur du module ;• inférieure à l'unité, et sa 



