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 en conséquence 



La fonction f (x) restera continue pour tout module de x inférieur au 

 module de a; et cette même fonction, si s est négatif, ou, dans le cas contraire, 

 ses dérivées d'un certain ordre, deviendront infinies pour j: == a. Donc, en 

 vertu du 3* théorème, le module de a sera la limite extrême et supérieure, 

 au-dessous de laquelle le module /• dex pourra varier arbitrairement, sans 

 que la fonction i[pc)^ déterminée par l'équation (5), cesse d'être développable 

 en série convergente ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes 

 de .r. 



•' Pour montrer une application du [\ théorème, supposons que P repré- 

 sente une fonction réelle , entière et toujours positive, du sinus et du cosinus 

 de l'angle p. On pourra mettre P sous la forme 



(6) P = h [i — a cos(p — a)] [i — b cos (p — ê)] [i — c cos(/7 — 7)]..., 



h désignant une constante positive, a, b, c,... d'autres constantes positives 

 et inférieures à l'unité, que nous supposerons rangées de manière à former 

 une suite décroissante , et a, S, y,... des angles réels. Posons maintenant 



Ou tirera de la formule (6) 



(7) P=h(i-axe-'-^) (1-^6-=''^) {i-hxé'^) (i-^e-^-^)..., 



et par suite, en nommant s une constante réelle, on aura, pour des mo- 

 dules de X compris entre les limites a et -, 



(8) F=h^(i-aa:e'''^y(i-%-='-'^y {i-bxe''=^Y (,_ ^e-ê'^^V.... 



Gela posé, réduisons i{x) au second membre de l'équation (8), et prenons 

 en conséquence 



(9) f(x)=h^(i-aa:e^'^)' /i_?e— ^V (i_bxe'^^^ /, -^e-e^V.... 

 On conclura immédiatement du 4° théorème, que a et - sont les limites ex- 



