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 Comme je l'ai prouvé dans un autre Mémoire, si le module /• de x varie par 

 degrés insensibles, la fonction m, tant qu'elle restera finie, variera elle-même 

 par degrés insensibles, et par conséquent elle ne cessera pas d'être fonc- 

 tion continue de x jusqu'à ce que le module r acquière une valeur qui puisse 

 rendre la fonction F (,r, m) infinie ou discontinue, ou qui introduise dans l'é- 

 quation (i), résolue par rapport à m, des racines égales. D'ailleurs, dans 

 cette dernière hypothèse, on aura 



(2) D„F(j:, m) = g, 



et, par suite , la valeur de D^m, tirée de l'équation (i), savoir, 



■^' "^" - D„F(^, «)' 



deviendra généralement infinie. On doit seulement excepter le cas particu- 

 lier où la valeur de X, qui introduit dans l'équation (i) des racines égales, 

 vérifierait, non-seulement l'équation (2), mais encore la suivante 



(4j fii- F(x, u) = o. 



Ces principes étant admis, on pourra évidemment appliquer les théorèmes 

 3 et 4 du paragraphe précédent, non-seulement aux fonctions explicites, 

 mais encore aux fonctions implicites d'une variable x. 



>> Pour donner une idée de cette application, supposons de nouveau la 

 fonction u définie par la formule 



(5) ft ~ [i —X- — x(i — x-y \/ — ij -f-[i —x--hx{i —x-i' \/ — i\\ 



On pourra regarder u comme une fonction implicite de x, déterminée par 

 1 équation 



(6) j«^ — 3« — 2(1 — x'^) 



o; 



et le développement du second membre de la formule (5j, suivant les puissances 

 entières et ascendantes de x, ne sera autre chose que la série qu'on obtient 

 quand on développe , par le théorème de Lagrange, celle des racines de l'é- 

 quation (5) qui se réduit au nombre 2 pour une valeur nulle de x. Cette série 

 sera donc convergente, tant que la racine dont il s'agit restera fonction con- 

 tinue de X. D'ailleurs, quand on substitue l'équation (5) à 1 "équation (i), c'est- 



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