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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Note SUT l'ûppUcatioTi de la méthode loga- 

 rithmique à la détermination des inégalités périodiques des mouvements 

 planétaires; par M. Augustin Cauchy. 



'< Comme je l'ai dit dans la dernière séance , la détermination des inéga- 

 lités périodiques produites dans le mouvement d'une planète m par l'action 

 d'une autre planète m', séparée de m par la distance »■, peut être ramenée 



au développement du rapport - en une série ordonnée suivant les puissances 



entières des exponentielles trigononiétriques qui ont pour arguments les ano- 

 malies moyennes T", Z"', ou même les anomalies excentriques ij;, 'Y des deux 

 planètes. D'ailleurs, on peut aisément trouver le développement exact du 



rapport - quand on sait développer les valeurs qu'on obtient pour ce rapport , 



en négligeant , dans le carré de la distance ^, deux termes généralement très- 

 petits dont l'omission réduit le carré dont il s'agit à une fonction linéaire des 

 sinus et des cosinus des angles i|/, ij''- Enfin, à l'aide des formules rappelées 

 dans un précédent article , on peut assez facilement développer la valeur ap- 

 prochée , et par suite la valeur exacte du rapport - en une série convergente 



ordonnée suivant les puissances entières de l'une des deux exponentielles 

 qui ont pour arguments tj;, tjj', par exemple, suivant les puissances entières de 

 l'exponentielle 



Soient 5 le module de la série ainsi obtenue , et 



X„'e'''i'"^ 



son terme général. Il ne restera plus qu'à développer X„i suivant les puis- 

 sances entières de ei'''"'. Or, je prouve que toute la difficulté de ce dernier 

 problème se réduit à développer le logarithme népérien, du module Q en une 

 série ordonnée suivant les puissances ascendantes de e'^ ''-i . Ce n'est pas tout; 

 je démontre que la dérivée du logarithme népérien de S, prise par rapport à 

 '|i, peut se décomposer en facteurs dont chacun est une puissance positive ou 

 négative d'un binôme de la forme 



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