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sieurs autres qui permettent de transformer en méthodes rigoureuses divers 

 procédés dont on s'était servi pour déterminer les valeurs approchées des 

 coefficients que renferme la série. 



>' Soit 1 {x) une fonction donnée de la variable imaginaire 



(i) x^re"'-', 



et supposons que cette fonction reste continue entre les limites inférieure et 

 supérieure A; et k du module rde la variable x. On aura, en prenant r=i, 



(a) {{e'"'-')^...a^,e-'''^-'-+-a_,e~p'-'+ao-^a,eP'''+a,e^P'^-'+..., 

 et plus généralement, en supposant r renfermé entre les limites A, ,/f, 



(3) f (x) = ... a_2^~' -+- U-iX'^' ■+- n„-+-a,x-h a^x^ +..., 

 la valeur de a„ étant déterminée par la formule 



(4) «« = Çif e-"'"^' f ire"'-') dp. 



Or, celteformule, dans laquelle on peut supposer l'indice «positif ou négatif, 

 et attribuer au module r l'une quelconque des valeurs comprises entre les 

 limites A,, k, entraîne diverses conséquences dignes de remarque, et que nous 

 allons indiquer. 



» D'abord, il suit de la formule (4) que le produit a„ r", c'est-à-dire le 

 module du terme général du développement def (x), est précisément la valeur 

 moyenne de la fonction 



-npi'-l 



iireP'-'). 



D'ailleurs cette valeur moyenne offre nécessairement un module inférieur 

 au module maximum de la fonction elle-même. On peut donc énoncer ce 

 théorème très-général , et qui paraît digne d'attention. 



Il i" Théorème. Dans le développement d'une fonction suivant les puis- 

 sances entières d'une variable, le module d'un terme quelconque est, pour 

 une valeur donnée du module de la variable, toujours inférieur au plus grand 

 module correspondant de la fonction elle-même. 



