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Donc, si l'on attribue au nombre entier n une valeur assez considérable pour 

 que la somme (5) devienne inférieure à une certaine limite (?, on commettra 

 sur la valeur de i{x) une erreur, dont le module sera inférieur à cette limite, 

 lorsqu'à l'équation (3) on substituera la suivante 



(6) , ï{x) = rt_„+,^-'^' + . . . +fl_,x-' + rto + rt,^ -H . . . + a„_,x"-' ; 



et par conséquent on pourra, sans craindre une telle erreur, ni sur la fonc- 

 tion elle-même, ni sur aucun des termes qui renferment les coefficients 



a^„^_^,. . ., (i_,, a„, a,,..., a„_,, 



déterminer chacun de ces coefficients, non plus à l'aide de l'équation 



(7) a,„ = ^ jj"^"'^ f ^'"^'''" ) ^Z'' 

 mais à l'aide de la suivante 



(8) «,„=— 2.^ fy'-e 



Z désignant un nombre entier égal ou supérieur à in— i, et la somme qu'indique 



le sipne V s étendant à toutes les valeurs entières de i qui restent inférieures à 



/. Or, substituer l'équation (8) à l'équation (7), c'est tout simplement appli- 

 quer la méthode des quadratures à l'évaluation de l'intégrale que renferme 

 le second membre de l'équation (7). C'est encore, si l'on veut, appliquer la 

 méthode d'interpolation au développement de la fonction f(x) en série. 

 Mais, en opérant comme on vient de le dire, on transformera en méthodes 

 rigoureuses ces méthodes dont les géomètres ont souvent fait usage, et dont 

 j'avais moi-même, dès l'année i832, indiqué l'emploi comme pouvant être 

 utile dans les problèmes d'astronomie. 



). Lorsqu'en supposant r = A: et r = A,, on rend infinies des dérivées de 

 i[x) alors, d'après ce que j'ai dit dans un autre article, k et A sont les li- 

 mites extrêmes entre lesquelles le module de x peut varier, sans que le dé- 

 veloppement de f [pc) cesse d'être convergent. Si d'ailleurs la fonction {{x) ne 

 devient pas infinie avec ses dérivées, mais conserve, au contraire, une valeur 

 finie pour r = /• et pour r =^ k^^ il sera utile de réduire, dans l'expres- 

 sion (5 ., à X-, p, à A. Cette dernière réduction ne sera plus permise, si 



