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GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. — Note sur la coutbiue des lignes considérées 

 comme provenant de l'intersection mutuelle de deux surfaces données ; 

 par M. J. BiNET. 



" Quand une ligne courbe est située à la fois sur deux surfacesy,y, , sa 

 courbure, eu un point déterminé R, dépend de la forme des deux surfaces et 

 surtout des éléments de leurs courbures au point R. Je me suis proposé de re- 

 connaître la participation individuelle, en quelque sorte, due à chacune des sur- 

 faces dans la courbure de leur section commune, et j'ai été conduit à deux 

 propositions géométriques qui emploient , pour leur expression , des considéra- 

 tions distinctes , mais qui sont aisément conciliables. Je me bornerai ici à 

 énoncer la plus simple de ces propositions : par la tangente à la section 

 commune en R, conduisez un plan qui coupe la première surface^, et qui 

 lui soit normal; déterminez le centre de cette section normale d'après le 

 théorème d'Euler; par la même tangente conduisez un second plan normal 

 à la surfaceyi , et cherchez pareillement le centre de courbure de la ligne 

 qu'il trace sur J\ ; vous joindrez, par une droite, les deux centres de cour- 

 bure ainsi trouvés : ce sera la ligne des pôles de l'élément de la courbe pro- 

 posée en R, selon la dénomination de Monge; et une perpendiculaire abaissée 

 de R , sur cette ligne des pôles , sera le rayon de courbure , tant en grandeur 

 qu'en position. Cette proposition se rattache naturellement au théoi'ème de 

 Meunier sur la courbure des sections obliques des surfaces. J'ai été informé, 

 par M. Ghasles, après la présentation de cette Note, que M. Hachette, 

 membre de cette Académie, a donné une construction élégante qui renferme 

 la même proposition : il l'a tirée de considérations ingénieuses sur les surfaces 

 réglées et sur les projections, ainsi qu'on le voit dans la partie synthétique 

 de son Traité de Géométrie , publié en 1817. 



» 1. Soit |5 le rayon de courbure d'une ligne quelconque ; sa grandeur est 

 donnée, pour le point R qui répond aux coordonnées rectangulaires x ^j, z, 

 par la formule connue 



I \ ■ _ ('^yd'z — dzd'f)' -+- {flzrr-x — dxd-z)' + {djcd'y— djd'x)- 



ds- 



où l'on représente dx'^ + dy^ -+- dz^ par ds'^, en sorte que ds est l'élément 

 de la courbe. Le plan osculateur de la courbe forme, avec les plans des fz, 

 zx, xj, des angles qui ont pour leurs cosinus 



