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 en sorte que ce développement étant représenté par 



X = P -1- P,x -h Pj .r^ 4- P^a:^ + + P„<, 



le premier coefficient P est la probabilité de n'amener aucune boule 

 blanche dans les n tirages; P, est la probabilité d'amener une seule 

 boule blanche dans ces mêmes tirages; Pj est la probabilité d'amener deux 

 blanches, et ainsi des autres coefficients P, , P^ , etc. , jusqu'à P„ qui exprime 

 la probabilité d'amener n blanches dans les n tirages. Nous avons déjà re- 

 marqué qu'à chaque coup ou à chaque épreuve , les chances des deux adver- 

 saires, à cette partie, sont continuellement variables, au lieu d'être con- 

 stantes, comme dans la question de BernouUi-; il se présente néanmoins une 

 recherche analogue à la première proposition de Bernoulli : on démontre, en 

 effet, assez promptement qu'il existe une certaine probabilité P;; qui surpasse 

 toutes les autres, pour un nombre donné n d'épreuves ; mais il a été plus dif- 

 ficile d'assigner le rang et la valeur de cette plus grande probabilité, quand 

 le nombre des épreuves devient cousidérable. D'après la forme du polynôme 

 X , cette question revenait évidemment à déterminer dans une factorielle de 

 l'ordre n 



(i 4- j:) (2 -I- jt) (3 -1- jc) (n -1- x), 



transformée en un polynôme 



A 4- A, X -I- A2 x^ -I- etc. -t- A„ j:", 



quel est le plus grand de tous les nombres entiers 



A, A, , Aj , . . . , A„ : 



ce plus grand coefficient est ce que je nomme le terme principal. Ces sortes 

 de factorielles s'étant présentées dans une multitude de recherches, ont 

 beaucoup occupé les analystes. Leur considération a conduit Lagrange à la 

 première démonstration du théorème de Wilson, sur les nombres premiers, 

 et pour cet objet il eut à établir le mode de dérivation des coefficients les uns 

 des autres. Mais ces relations ne peuvent conduire au but que je viens d'in- 

 diquer. Il m'a fallu , pour y arriver, abandonner les ressources de la simple 

 algèbre, et faire intervenir des méthodes qui n'étaient pas familières aux ana- 

 lystes au temps de d'Alembert , et qui ont été perfectionnées par de récents 

 travaux. 



