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 " Quand il s'agit d'une factorielle provenant de quelques facteurs seule- 

 ment , le calcul immédiat donne ses coefficients, et l'on a 



(i+j:)(2 + x)= 2+ 3x-hx', 

 (i + jr)(a + j:) (S + j:) = 6+ iij:+ 6x^-+-x\ 



{i + x){i-hx) {^-h-x)= 24+ Sox+ 35x^-h lox^ + x\ 



(i-t-a-) (2-1- x) (5 + j:)= 120 + i']^x-\- 2-i5x^ -h85x^ + i5x''-\-x', 



(i-i- x) [i + x) (g4- jr) = 362880 -f- 1026576 X -+- 1 1727000?^ + 



+ 723680x^ + 269325^:' +63273 j:*+945oa?° + 870J:' + 45 JT* +a.°. 



Ces exemples montrent que le terme principal est A, dans les premières 

 factorielies , et qu'il devient A, pour la neuvième et même dès la sep- 

 tième, ainsi qu'on peut le voir dans les traités de Stirling on de Kramp. 

 Mais ce calcul est impraticable pour un grand nombre de facteurs, et ne 

 fait rien connaître sur la loi cherchée. Voici en quoi consiste la solution à 

 laquelle je suis parvenu, en supposant que n est un nombre un peu grand on 

 très-considérable. Soit 



"^ ' 2(« + l) 4(« + l)(« + 2) l8(« + l)(/ï + 2)(« + 3) ' 



a est une constante égale à 0,4227842..., et le logarithme de(7; + i) est hy- 

 perbolique : on prendra , pour l'indice h, de A./,, le nombre entier immédiate- 

 ment supérieur à L; or, on a prouvé dans le Mémoire, 1° que la série des 



nombres entiers A < A, < Aj < <i Aj,_^ sera toujours ascendante; 



2° qu'elle pourra, dans certains cas, demeurer croissante jusqu'à A/,_, , 

 ou même à A^ , mais elle sera nécessairement décroissante depuis 



A/,>A/i^, >Aa^2> jusqu'à A„: l'origine du coefficient a, ainsi que 



des autres coefficients de la suite , sera expliquée dans le Mémoire. 

 " Si l'on applique cette formule au cas de « = 9 , on aura 



L=Iog(io) -[0,4228 + ^ + ^+ etc.]: 



or log (10) = 2,3o258; il en résulte L= 1,807... • ^^ nombre entier h con- 

 sécutif à L étant 2, le terme A^ est, dans cet exemple, A2; c'est, en effet, 

 celui à partir duquel les A3, A,,.. ., A, ne cessent de décroître dans la fac- 



. ,, r(x+io) • . 



torieile . . ' que nous avons rapportée. 



