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" Ainsi, lorsque l'on a formé le produit des nombres naturels i , a, 3, ...,«, 

 et que ce produit est A = i .2.3. . . w ; que l'on a formé la somme A, des 

 produits n — i k n — i de ces nombres; la somme des produits Aj de ces 

 mêmes entiers, pris w— aàw— 2,et ainsi des autres sommes A3, A^ , etc.; 

 la plus grande de toutes ces sommes, ou le terme principal, se trouve ré- 

 pondre à un indice h, ou /z — i, ou k — 2., h étant à peu près l'entier supé- 

 rieur à iog («) quand Ji est un fort grand nombre. 



>> Dans la question de probabilités proposée ci-dessus, la plus grande 

 des chances sur un nombre n d'épreuves répond donc à l'un des trois indices 

 h — 2, A — I, ou h, le nombre h étant déterminé par la formule que nous 

 venons de rapporter; et quand ce nombre d'épreuves est fort grand, h est 

 presque égal à Iog (m), c'est-à-dire que la meilleure chance à choisir serait 

 celle d'extraire la boule blanche dans les n tirages, un nombre de fois mai-- 

 qué par l'entier supérieur Iog («) — a, ou par l'un des deux entiers inférieurs : 

 alors ces trois chances diffèrent peu l'une de l'autre. 



» On voit maintenant à quel point le résultat auquel nous arrivons sem- 

 ble s'éloigner de ce qu'enseigne la première proposition de Bernoulli : cette 

 proposition prouve que l'indice de la plus haute probabilité, dans les répé- 

 titions très-nombreuses des épreuves à chances constantes , est proportionnel 

 au grand nombre n des répétitions de l'épreuve; dans notre problème, où 

 les chances varient sans cesse d'une épreuve à l'autre, l'indice de la haute 

 [irobabilité est fourni par le logarithme hyperbolique du nombre des répé- 

 titions, au lieu d'être proportionnel à ce nombre partagé selon le rapport 

 constant des probabilités de l'épreuve simple. 



" Poisson a traité d'une manière très-générale les probabilités qui résul- 

 tent de la répétition indéfinie des épreuves à chances variables, afin d'étendre 

 les théorèmes de Bernoulli , ou plutôt de trouver la règle qui doit leur être 

 substituée, quand les chances opposées de deux événements ne sont plus 

 constantes à chaque épreuve: sous ce rapport, la question dont je viens 

 de m'occuper semblerait rentrer dans la catégorie de celles que Poisson avait 

 en vue; mais on remarquera aisément, en suivant l'analyse fort délicate 

 de l'illustre géomètre , qu'elle suppose que la probabilité variable de l'un 

 (les événements daus les épreuves successives ne décroisse pas sans cesse, de 

 manière à s'annuler si le nombre des épreuves est infini; l'auteur excepte 

 lormellement ce cas qui est précisément celui du problème que j'ai voulu 

 résoudre. On remarquera, en outre, que toute l'analyse de Poisson repose 

 expressément sur la supposition du nombre immense des répétitions, qu'il 

 nomme |x, et qu'il entend traiter comme infini : dans mes spéculations, le 



