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 >' Dans la quatrième je poursuis la recherche des propriétés des hgnes 

 non planes, et je donne constamment des démonstrations géométriques à 

 côté des résultats analytiques. 



PREMIÈRE PARTIE. — Formules fondamentales . 



ds ds I 



>. 2. Soient —, —les angles infiniment petits formés, le premier, par les 



deux tangentes, le second, par les deux plans osculateurs menés au point 

 M {Xy Y, z) d une courbe et au point M' qui est distant de 



ds = \jcix^ + dj^ -+■ dz^. 



« Sur les deux éléments consécutifs MM', M' M" formons un parallélo- 

 gramme : on aura d^x, d^ , d^z pour les projections de sa diagonale, 

 dx, dj, dz pour celles de son premier côté sur les x, j, z, et par suite, en 

 vertu d'un théorème connu et très-facile à démontrer, djd-z — dzd^j, 

 dzd^x — dxd-z, dxd-j — djd-x pour les projections de son aire sur les 

 plans j-s, zx, xy. 



•' Désignons ces binômes par X, Y, Z. F/aire non projetée est — 



Il Donc on a immédiatement 



- = v/X' + Y- + Z= ; 



P 



et^, '— j ^ sont les cosinus des anales formés, avec les trois plans coor- 



ds' Hsf ds' " 



donnés, par le plan osculateur, qui n'est autre chose que celui de ce paralle- 



lo^ramnie de courbure. 



" La même diagonale, projetée successivement sur un des côtés et sur 



une perpendiculaire à ce côté, donne d'^s et — ; d'où 



ds' 



P 



= \/d^x' -hd-j^ + r/^z^ 



,< 3. En prolongeant deu.x des côtés de manière à les rendre égaux à 

 l'unité, et projetant, sur les trois axes, la petite ligne de jonction de leurs 

 extrémités, qui a une longueur - et une direction parallèle au rayon du 

 cercle osculateur, on obtient encore 



! = ^/W^W^Vf)'-' 



