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 on obtient ia série suivante : 



(i) 1,2,3,5,8; i3, 21, 34, 55, 8g; 1441233,377,610,987; 1597. 



D'après cette loi de formation , quand on appliquera la méthode de recherche 

 du plus jjrand commun diviseur à deux nombres consécutifs de la série f i), 

 tous les quotients des divisions seront l'unité , et les restes seront tous les ter- 

 mes précédents, jusqu'au reste i. Le nombre des divisions effectuées sera 

 donc égal au nombre de ces restes précédents. 



» Il est facile de démontrer que le nombre des termes de la série (i), qui 

 ont un même nombre de chiffres , est au moins de quatre , et au plus de 

 cinq. En effet, l\ le premier des termes de (^-4- i) chiffres, est plus grand 

 que 10*, et moindre que 2.10*, puisqu'il provient de la somme de deux nom- 

 bres de k chiffres ; «", le second terme de (A -f- i ) chiffres , est plus grand 

 que f . 10*, car il est égal à t\ plus grand que 10*, augmenté de t'°', terme 

 le plus élevé de A" chiffres, lequel est nécessairement plus grand que ~. 10*, 

 puisque, ajouté à un terme moindre que lui, il doit donner <'; f est d'ail- 

 leurs plus petit que 3. 10*, puisque l'on a i'<2 . 10* et «""< 10*; enfin , si l'on 

 désigne par t'\ t", t\ t"',. . . les termes qui suivent t", on aura les inéga- 

 lités 



2,5. io''<<"' < 5.10*, 

 4.io*<<"< 8.10*, 



6,5.io*<r <i3.io*, 

 io,5.io*<r'<2i.io*. 



Ainsi t" ne peut avoir plus de (^ + i) chiffres, et t"' moins de (k -t- 2) chif- 

 fres. Le groupe des termes de (A -h i) chiffres comprendra donc au moins 

 quatre termes, et au plus cinq. 



" D'après cela , si l'on désigne les termes de la série (i) par fg, r,,rr,, r^ ,..., 

 fn) '"n+tv> le nombre n des termes qui précèdent/-,, sera au plus égal à cinq 

 fois le nombre des chiffres de r„, moins l'unité. Donc la recherche du plus 

 grand commun diviseur, entre deux termes consécutifs r„, r„+,, de la sé- 

 rie (i), se composera d'un nombre de divisions plus petit que cinq fois le 

 nombre des chiffres de r„. 



" Soient maintenant A, et B< A, deux entiers dont on cherche le plus 

 grand commun diviseur. Désignons par ( R„', R„'_,, R„'-,,. . ., Rj, R,, Ro) '^ 

 suite décroissante des restes que donnent les divisions de A par B, de B par R,,/, 

 de Rn'pai" Rn'-(, etc. he plus petit nombre, B, tombera entre deux termes conr 



