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sécutifs r„+, et r„ de la série (i), et les restes R„', R„'_,,. . . tomberont dans 

 les divers intervalles de la série décroissante (r„_^, , r„, r„_,,. . ., ''2, r,, To). 



" S'il y a deux restes R, et R;_, compris dans le même intervalle {r/,, rj_,), 

 de telle sorte que l'on ait r^ > R^ > R/_, > r*-, , puisqu'on a r^ —r^_,-i- r^_^ , 

 et que r,, ne contient qu'une fois rA_, , R; moindre que r^ ne contiendra 

 qu'une fois R;_, qui est plus grand que r^_^; on aura donc R, = R,_, + R/_j , 

 etR/_2 <''a-2 5 c'est-à-dire qu'aucun des restes R ne tombera dans l'inter- 

 valle ('>_i, />-2)- La même conclusion s'applique aux cas où l'on aurait 

 (rj. = R; > R,_, > rA_, ), ou bien (r* > R^ > R,_, = rt_,. Ainsi , les restes R 

 seront distribués entre les termes de la série décroissante des r, de telle sorte 

 qu'ils ne pourront être plus de deux dans un même intervalle, et que tout 

 intervalle doublé {on ayant deux restes R) sera nécessairement suivi d'un 

 intervalle vacant (ou sans reste R). 



■< Supposons qu'une des divisions successives, donnant les restes R, con- 

 duise à im quotient plus grand que l'unité, que l'on ait, par exemple, 

 R, = 2R,_, + R,_2- Soient 7)^., et /} les deux termes de la série des r entre 

 lesquels tombe R, ; on aura R, — 2 R,_, > o , 2 r^ — rj^, > o , et par suite 

 ■i[rj — R,_, ) — (r,+, — R,) > o; donc r, sera plus grand que R,_,. Si R,_, , 

 déjà plus petit que r,, est aussi moindre que r,_, , l'intervalle (/), r,_,j sera 

 vacant. Si R,_| surpasse r,_, , puisqu'on a /-y^, ^= "^-Tj-k -^fj_2, Ri= 2R,_, -l-R,_2 , 

 et R,- < r,+,, il faudra que R,_2 soit moindre que ry_2, c'est-à-dire que l'in- 

 tervalle (r,_,, r,_2) sera vacant. Ainsi, quand l'une des divisions qui condui- 

 sent aux restes R donnera un quotient autre que i , il y aura au moins un 

 intervalle de la série des r qui ne comprendra pas de reste R; et cette lacune 

 ne sera pas compensée par un intervalle doublé. 



" Donc pour que le nombre des restes (R„', R„'_,,... , R|, Rq), qui sui- 

 vent B , puisse atteindre le nombre des termes qui suivent r„+, dans la série 

 décroissante des r, il faudra que les quotients de toutes les divisions de B 

 par R„', de R„» par R„'_,, etc., soient tous l'unité, ainsi que le reste Rp. Alors 

 la série des R se formera, à partir des deux derniers R,, = i et R, , comme 

 celle des r, à partir de r,, = i et r, = 2. Mais R, ne pourra être 2 ; car, si cela 

 était, les deux séries seraient identiques, et l'on aurait B^r„_n, ce qui 

 n'est pas, par bypothèse. Ainsi R, sera au moins 3, et la série des R, à 

 partir de B, aura, vers la fin , un du plusieurs termes de moins que la série 

 décroissante des r, à partir de r„+, ; c'est-à-dire que le nombre des restes R 

 sera au plus égal au nombre des termes qui précèdent /„ dans la série (i). De 

 là résulte le théorème énoncé. 



» Soient pris, pour exemple, les deux nombres iSgj et 987 [16* et 



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