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 lions nouvelles relatives à la théorie des développantes des courbes planes. Us 

 permettent , dans un grand nombre de cas , d'abaisser l'ordre des équations 

 différentielles; ainsi, par exemple, ils fournissent immédiatement, et sans in- 

 tégration , l'équation , sous forme finie , des lignes de courbure des surfaces 

 du second ordre. 



.. 3* Théorème. Si ç,, ipa,.-, ©„+i sont des fonctions de x,f, ^'■••, ;^' 



et que les équations 



ç), = constante, 

 ffij = constante, 



r=: constante. 



soient « + i intégrales premières d'une même équation différentielle, on 

 pourra toujours ramener l'intégration de l'équation 



à celle d'une équation de l'ordre m — n, et cela quelle que soit pa forme de 

 la fonction F; on peut également connaître les solutions singulières de l'équa- 

 tion précédente. 



" 4'^ Théorème. Toute équation différentielle 



peut être mise sous la forme 



F(y,+)=o, 



cIy ci"'y 



o et d/ étant des fonctions de j: . j", ■^,. . ., y^, assujetties à la condition que 



les équations 



cf ^= constante , 



ij/ =: constante, 



soient deux intégrales premières d'une même équation différentielle.' 



» 5* Théorème. Une équation différentielle de l'ordre m , outre sa solu- 

 tion générale, peut admettre a"'—! solutions singulières distinctes, mais elle 

 ne peut en admettre davantage. « 



