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 bornent pas à fournir des démonstrations simples des résultats déjà connus, 

 mais qu'elles conduisent encore à la découverte de plusieurs propriétés nou- 

 velles qu'il serait très-difficile d'établir par l'analyse. Ainsi je donne la condi- 

 tion pour que deux systèmes de lignes tracées sur une surface soient ortho- 

 gonaux; la formule que j'obtiens comprend, comme cas particuliers, celles 

 que M. Lamé a fait connaître depuis longtemps dans le Journal de L'École 

 Polytechnique , pour les coui-bes planes et les surfaces, et que M. Bertrand 

 a démontrées géométriquement dans un Mémoire récemment approuvé par 

 l'Académie. 



» Je me suis aussi occupé ro la transformation des surfaces. M. Gauss 

 avait remarqué que pour qu'une surface pût s'appliquer sur une autre sans 

 qu'il y eût déchirure ni duplicature, il fallait et suffisait que les points de ces 

 surfaces se correspondissent deux à deux de manière que les courbures des 

 surfaces, c'est-à-dire les inverses des produits des rayons de courbure prin- 

 cipaux , en ces points, fussent égales. J'établis d'une manière simple cette 

 propriété fondamentale, ainsi que quelques autres plus ou moins remar- 

 quables. 



" Je termine enfin par quelques résultats relatifs à ce que j'appelle la va- 

 leur sphérique d'une portion de surface courbe. Entrons à ce sujet dans quel- 

 ques détails. 



" Concevons qu'on ait tracé sur une surface un contour quelconque ; par 

 les différents points de ce contour menons des normales à la surface , puis, 

 ayant pris une sphère de rayon égal à un, imaginons tous les rayons de 

 cette sphère respectivement parallèles aux normales de la surface ; nous dé- 

 terminerons ainsi, sur la sphère, un second contour qui comprendra ce que 

 nous appelons la valeur sphérique de la portion de surface correspondante au 

 premier contour. 



» M. Gauss a eu le premier l'idée de cette reproduction des surfaces 

 quelconques sur une sphère de rayon un , et il a donné un théorème re- 

 marquable qui fait connaître la valeur sphérique d'une portion de surface 

 terminée à des lignes minima. Je parviens à un résultat plus général que 

 celui de M. Gauss et qui me permet de déterminer la valeur sphérique, quel 

 que soit le contour tracé sur la surface. Quand la surface courbe consi- 

 dérée est une sphère , la valeur sphérique d'une portion quelconque de la 

 surface est proportionnelle à la valeur exacte , je conclus de cette remarque 

 le théorème suivant, qui me paraît assez curieux : Une portion de surface sphé- 

 rique, termine'e à un contour polygonal ou courbe tout àjnit quelconque , est 

 égale au carré du rayon multiplié par l'excès de la somme des angles du 



