( io7> ) 

 se trouve reniplie,.il sera nécessaire, non-seulement, que le produit 



a„x" 

 diffère peu de zéro pour de grandes valeurs de n , mais encore que la série 



(4) l(i +«„^), 1(1 +rt„^,j:^'),... 



resteconvergente,lalettre caractéristique 1 indiquant un logarilbnie népérien. 

 Or, le module de la série (4) se réduisant au produit kr, aussi bien que le mo- 

 dule de la série (i), on en conclura que la série (4), et par suite les facto- 

 rielles (2) et (3), seront convergentes ou divergentes, suivant que le module r 



de x sera inférieur ou supérieur à j- 



» Les valeurs des coefficients a,, a^, ^3,- •, «lue renferme le second mem- 

 bre de la formule (2), déterminent la nature de la fonction P. Supposons 

 maintenant que cette fonction soit donnée à priori et qu'elle ait été déve- 

 loppée en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes 

 de JT, en sorte qu'on ait 



(5) P = Ao -H A, x + Aj j:^ -<- . . . . 



On pourra chercber à déduire des coefficients A^, A,, Aj, ... les coefficients 

 (To, <2,, aj, .... On y parviendra sans peine en partant de l'équation 



(6) A„ H- A,x -f- Ajjf^ ^- . . .= (1 H- «o) (i + a^x){\ -+- a^x^). . ., 



qui doit être vérifiée tant que les deux membres restent convergents. Or, 

 on trouvera d'abord , en posant x = o, 



Ao = I + ao, 

 et par suite on aura 



. (i -I- -^ a: -t- -^ a:^ -H . . .= (i + a, ar) (i H- a,x'^){i -+- a^x^) + . . . 

 ( ^ I -ha,x -h a^x^ -+- {a^ ■+- a,a^)x^ -H ... ; 



puis on en conclura 



(0) n, = — , flj = — , «3 H- ajrt, = — , • • • • 



142.. 



