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formule qui offre aussi le premier terme d'une série générale, dont l'usage 

 paraît devoir rendre plus facile la solution d'un grand nombre de problèmes. 



" Concevons, par exemple , qu'il s'agisse de développer une fonction en 

 une série ordonnée suivant les puissances entières d'une certaine exponen- 

 tielle trigonométrique , et de calculer le coefficient d'une puissance d'un degré 

 très-élevé. Je prouve qu'il sera généralement très-facile d'obtenir une valeur 

 approchée ou même exacte de ce coefficient , si la fonction a été décomposée 

 en deux facteurs, dont un seul fournisse pour les termes de ce degré ou d'un 

 degré plus élevé des valeurs sensibles. Or, ce cas est précisément celui qui 

 se rencontre en astronomie; et, par suite, aux formules que j'ai déjà données 

 pour la détermination des mouvements planétaires, il me paraît très-utile de 

 joindre encore celles que renferme le Mémoire ci-annexé. 



" Au reste , la nouvelle formule générale peut être appliquée à la déter- 

 mination d'un terme quelconque d'une fonction quelconque, décomposée en 

 deux facteurs. 



Il Ce qui parait digne d'attention , c'est que la série générale, à laquelle je 

 suis parvenu , est une série simple dont les divers termes sont proportionnels, 

 non plus, comme dans la série deTaylor, aux dérivées successives d'une 

 même fonction , ni, comme dans la série de Lagrange, aux dérivées des 

 puissances entières d'une fonction donnée, mais à diverses fonctions dont 

 chacune est le produit de la variable par la dérivée de la fonction précédente. 

 Quant aux coefficients numériques , ils offrent des valeurs qui dépendent du 

 rang du terme que l'on considère, et du premier des deux facteurs de la 

 fonction donnée. 



» Dans de prochains Mémoires, je donnerai des applications numériques de 

 mes nouvelles formules à la théorie des mouvements des planètes et des co- 

 mètes elles-mêmes. 



Analyse. 

 § I"^'. — Recherche et démonstration delà nouvelle formule . 



» Nommons F (a:) une fonction donnée de la variable x; et concevons que 

 le développement de cette fonction en série ordonnée suivant les puissances 

 entières positives , nulle el négatives de x, soit, pour des valeurs de x com- 

 prises entre certaines limites, celui que détermine la formule 



(t) F(.r) = A^-^ A,x-\- ^^x^ -^ . . . + A_^x-' -\-A_2X-''-ir 



En d'autres termes, concevons que, pour des valeurs entières positives ou 



