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Si, dans l'équation (8), on remplace n par n -+- m, on en conclura 



D'ailleurs, l'expression e~"''"'~' sera, pour toutes les valeurs dep, déve- 

 loppable en une série convergente; et si l'on substitue le développement de 

 cette expression , savoir, 



dans le second membre de l'équation (9) , on en tirera 



(jo) k„^_,„ = k„ -H mk„, , + m- k,,,., + . . . , 



la valeur de k„_„ étant généralement déterminée par la formule 



que l'on peut réduire à 



Cela posé, la valeur de k„^.„, fournie par l'équation (10) se réduira simple- 

 ment à la suivante: 



(i 3) k„+,„ = k„ + y D„ k„ + -|^ D- k„ + . . . ,. 



c'est-à-dire à celle que donne la formule de Taylor. 



>i Observons maintenant que la formule (3) peut s'écrire comme il suit : 



(i4) . f(x) = 2rt,„x'", 



la somme qu'indique le signe !2 s'étendant à toutes les valeurs entières, posi- 

 tives, nulle et négatives de m. Sous la même condition, l'équation (6) peut 

 être réduite à 



et de cette dernière formule, combinée avec l'équation (10), qui continue de 



