( H27 ) 



subsister quand on y remplace m par — /«, on tire immédiatement 



Donc, si l'on pose, pour abréger, 



( 1 7) f, (x) = lma,„ar, f j [x) — 1 m^ a,„ x"",. .., 



et si d'ailleurs on a égard à la formule (i4)j on trouvera définitivement 



(18) J„ = Q" [KHO-') - k„,. f, (ô-) + k„,, f, (S-)- . . . ] , 



ou , ce qui revient au même, en vertu de l'équation (22) , 



(19) ^„ = e"[Ki[6-')-^{,{9-')+ 5i^f^(9-.)_...J. 



Telle est la formule très-simple et très-générale par laquelle on peut tirer 

 de k„, considéré comme fonction de n, la valeur de ^„. Il est d'ailleurs im- 

 portant d'observer que, dans cette même formule , les diverses fonctions i^ix), 

 i.2{x)^. , . peuvent aisément se déduire les unes des autres et de la fonction 

 donnée {{x). En effet , comme on tire de l'équation (i4) 



T)Jix) = lma^x"'-\ 

 la première des formules (i 7) donnera évidemment 



(20) i,{x)=xl)^{{x), 



et l'on trouvera de même 



f,{x) = xJ)J,{x), 



(21) { U(x)^xDJ,{x), 



etc. 



Ainsi , la suite 



{(x), {,{x), f^{x),... 



est composée de fonctions dont chacune est le pi'oduit auquel on parvient 

 quand, après avoir différentié , par rapport à la variable x, la fonction pré- 

 cédente , on multiplie la dérivée ainsi obtenue par cette variable même. 



§ II. — Applications diverses de ta nouvelle formule. 



n Continuons de nous servir des notations employées dans le premier pa- 



