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 reproduit l'équation 



D"'{us>)=uD'"v + " DmD"'-' i' + "'^'j'-'^ D'^D'"-' c + .... 



.1 Concevons maintenant que, dans les formules (7), (8), (9), in de- 

 vienne négatif ; ou, ce qui revient au même, concevons que Ton remplace 

 dans ces formules m par — m. Alors les formules (7) et (9) deviendront 



(10) f(x - mk) = i{x) - Y Af(a:) 4- "'^'"^'^ A' {{x) -..., 



(11) {{x + mh) = f{a:) + ~ \f{x - h) + '"'-"'^^'h 'i{x - 2h) -h ...; 



et les séries comprises dans leurs seconds membres seront , pour des valeurs 

 positives de m, composées d'un nombre infini de termes. Ainsi, par exemple, 

 pour ffi = I, la formule (i 1) donnera 



(la) f(a:-/i) = f(x)-Af(.T)-+-AM(a7)-A'f(.r)+ .... 



Cela posé, les formules (10) et (i i) ne pourront évidemment subsister qu'au- 

 tant que les séries comprises dans leurs seconds membres seront conver- 

 gentes. J'ajoute que, sous cette condition, elles subsisteront toujours. Effec- 

 tivement, supposons convergente la série comprise dans le second membre 

 de l'ime de ces formules, par exemple de la formule (10); et représentons 

 par ç) (j?) la somme de cette série , en sorte qu'on ait 



(i3) tp {x) = i{x) -jA i{x) -4- ^l^_±i2 A= f (x) - etc. 



On en conclura 



(p{x -h mh) = f (j? + mh) A f (.« -+- mh) + ..., 



ou, ce qui revient au même, 



y (^ + mh) = (i + A)" [i - '^ A + "1^I1±A A"- . . . j f (^). 



Mais, en vertu du théorème fondamental ci-dessus rappelé, on a identique- 

 ment 



(i+Arfi -" AH-^li^^A^-.. .1 = (i ^AfCi -^A)-'"=I. 



