le développement du rapport 



F(6--l) 



suivant les puissances ascendantes de .r, la formule (i6) se trouvera réduite 

 à la suivante 



(17) M = A'o 4- A-, kD {{x) + A-„ A2D=f(x) + . . . 



+ k^, h-' D-' i{x) -+- k_. h-^ D-' f (x) . . . + A-_,„ k''" D-"" f ( .r) . 



dans laquelle on aura 



D-' f(x) = C{(x)dx, D-2f(x) = C Ci{x)dx-, etc. 



Il est donc à présumer que la formule (17) fournira, du moins sous certaines 

 conditions, «ne intégrale particulière de l'équation (16); et l'on peut obser- 

 ver encore que, s il en est ainsi , ou déduira aisément de cette intégrale par- 

 ticulière l'intégrale générale de l'équation (16), en ajoutant à l'intégrale par- 

 ticulière dont il s'agit l'intégrale générale de l'équation linéaire 



F(A)m= g. 



Mais il importe de rechercher quelles sont précisément les conditions sous 

 lesquelles subsistera la formule (17), et de prouver que ces conditions se 

 réduisent à celles qui expriment que la série comprise dans le second 

 membre est convergente. Pour montrer comment l'on peut y parvenir, exa- 

 minons en particulier le cas où l'on a simplement 



F(A) = A. 

 Alors la formule (i4) se trouvera réduite a l'équation 



(18) All = f!x], 



dont l'intégrale générale sera 



u = lf{x]. 



De plus, la formule (16) deviendra 



.. _ fi*) 



