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 et comme on a, pour un module de x inférieur à Olt: , 



= 1 X '-:;—, X' -\- . . . , 



e' — I Jo 2 1 ,2 1.2.3.4 



C| , c,, 6'3 , . . . désignant les nombres de Bernoulli, c'est-à-dire les rapports 



I I I 



6' 3B' l^'"" ■' 



l'équation ( r 7) se réduira simplement à la suivante : 



(19) u=h-' ft[x) dx - ifvx) +— li\)i{x) Î2^-^h^TiH{x) + . . . . 



D'ailleurs, pour que l'équation (19) subsiste, il sera d'abord nécessaire 

 que la série comprise dans son second membre demeure convergente ; et 

 comme le module de cette série ne différera pas du module de celle qui 

 aurait pour terme général 



il est clair que la convergence de la série comprise dans le second mem- 

 bre de l'équation (19) entraînera la convergence du développement de f(j:+r) 

 pour une valeur quelconque de z. Donc l'équation (19) ne peut subsister que 

 dans le cas où {{x-\-z) est toujours développable suivant les puissances ascen- 

 dantes de z, et par conséquent dans le cas où {{x) est une fonction toujours 

 continue de la variable x. J'ajoute que, dans ce même cas, la valeur de u^ 

 donnée par la formule (19J, représentera nécessairement une intégrale par- 

 ticulière de l'équation (18). En effet , on tirera de cette équation 



(ao)AM=/«-' C'^ i{z)dz-\M{x)^-^h\T)i{x)~ ^ /^ /i'AD'f(^)+..., 



les valeurs de Af(x) , ADf(j:), . . étant 



Af(j:) = f(.r-<-/î) -f(:r), AD f (x) = bf(.r + A) - D f(^),. . . 



Or, dans Ibypothèse admise, le second membre de la formule (20) sera une 

 fonction toujours continue de h. On pourra donc développer ce second mem- 

 bre en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes 



