subsistent généralement l'une et l'autre pour toutes les valeurs de ni qui 

 permettent aux séries que ces équations renferment d'être converfjentes. 

 Cela posé, concevons (|ue l'on combine l'équation (6) avec l'une des formules 

 (7), (8), (9), et supposons que a_,„ se réduise à zéro, pour toute valeur de m 

 qui rend divergente la série comprise dans le second membre de la formule 

 que l'on considère. On trouvera successivement 



(10) A„= Q" \k„ la^,nB'" H- ~ lma_,J'" -+- ^ lm'a_J'" -^ . . . j , 



(11) A„=5"[A„2rt_,„9'"+ ^ l,nn_,„e'" -h ^ 2m(m- i)fl_,„5'"+...]' 



(12) A„=9"h„la_„6'" + '^lma_,„6"'-h ^L^J^' 2w(m+ I)rt_„Ô'"+...]• 

 D'ailleurs, la seconde des équations (3) peut s'écrire comme il suit : 



ti3) f{x) = Ia_„x-'; 



et de cette dernière on tire , non-seulement 



('4) j2*«"fl_,„x-'" = (- i)"f„(x), 



les fonctions 



f(x), f,(a:), {^{x),... 



étant déduites les unes des autres à l'aide de la formule 



in{,x)=xr)J„_,{x); 

 mais encore 



lm(m-hi).. .im-+-n-i)a_^a:-"' = {~i)"x"D"J{x), 

 ou, ce qui revient au même, 



(i5) lm(m-¥- 1).. .(/B-f-« — i)«_„jr-"'=(— i)"x"f„{x), 



et de plus 



fQ = 2«_.^'", 

 par conséquent 



(16) lm{m - i) . . .(/H ~ n-h i)a_,„x'" = a:"D"j(^- 



