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§ II. — Des restes qui complètent les séries comprises dans les nouvelles formules , lorsque 

 l'on arrête chaque série après un certain nombre de termes. 



>i Les trois formules générales auxquelles nous sommes parvenus , c'est- 

 à-dire les équations (17), (18) et (19) du § 1", fournissent chacune la va- 

 leur de la fonction A„ représentée par la somme d'une série composée 

 d'un nombre infini de termes. On peut demander quel est le reste qui doit 

 compléter chaque série, quand on la suppose arrêtée après un certain terme. 

 On résoudra aisément ce dernier problème, par une méthode qui donnera 

 en même temps une démonstration nouvelle de chaque formule, en opérant 

 comme il suit. 



>• Si, dans la formule (22) du § I", on substitue la valeur de F [x) tirée de 

 l'équation 



F(j:) = <p(ex)f(x), 



on trouvera 



(i) K = \- r x-'<f{Qx){{x)dp, 



la valeur de x étant 



ut/— I 



X = e'^^ , 



et S désignant une constante que l'on pourra supposer non-seulement réelle , 

 mais encore très-peu différente de l'unité , ou même réduite à l'unité. En con- 

 séquence, la valeur de Q pourra être supposée telle que la fonction 



Y{t) = ^{6t)i{t) 



reste continue par rapport à t entre les limites 



Admettons cette hypothèse. La valeur moyenne de la fonction 



x-" (d{0x)1{x) 



qui, en vertu de l'équation (i), représente précisément le coefficient A„, ne 

 variera pas quand on y remplacera x par -• Elle sera donc équivalente à la 



C. R., 1844, 2""= Semestre. (T. XIX, N» 23.) ' ^9 



