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monslratioii, un nouvel exemple des ressources que pourraient offrir les mé- 

 thodes géométriques, si cette partie si importante des sciences mathématiques 

 était plus cultivée. 



" Ce Mémoire est divisé en quatre pai'agraphes. 



.1 Dans le premier se trouve une construction des amplitudes, parla con- 

 sidération des ares d'ellipse. 



>i Dans le deuxième sont les divers théorèmes qui forment l'expression 

 géométrique de l'équation des trois amplitudes. 



" Dans le troisième je donne un exemple de l'usage de ces théorèmes pour 

 1 addition, la soustraction , la mnltiplicatiou , et la division par une puissance 

 entière de a, des fonctions elliptiques. 



" Enfin , dans le quatrième paragraphe je fais connaître diverses autres 

 propriétés des sections coniques, qui roulent encore sur l'équation des trois 

 amplitudes, mais où la valeur du module n'est plus limitée et moindre que 

 l'unité. 



§ r'. — Conitructinn îles amplitudes , par la consiiiération des arcs d'ellipse. 



n \. Première question. — Construire l'équation 



F(î.)-F(y')=F(«)-F(a'); 



c'est-à-dii'e, étant données les amplitudes a, a' de deux fonctions ^ dé- 

 terminer tons les systèmes de deux amplitudes çi, (p\ répondant à deux 

 autres foncliotis dont la différence soit égale à celle des deux premières. 



» Qu'on prenne une ellipse ayant son demi-grand axe égal à l'unité et son 

 excentricité égale au module des fonctions, et qu'on prenne sur cette ellipse, 

 à partir du sommet D situé sur le petit axe, les arcs Drt, \)a' dont les ampli- 

 tudes sont a, a'; que par les points a, a' on mène les deux tangentes à 

 l'ellipse ; et que par le point d'intersection de ces deux tangentes on fasst 

 passer une seconde ellipse décrite des mêmes foyers que la première; puis 

 enfin, que d'un point quelconque de cette ellipse ou mène deux tangentes à 

 la première, les points de contact /n, m' déterminent deux arcs D/w, Dm', 

 dont les amplitudes satisfont à la question. 



" En effet , les deux arcs mm! , aa' ont leui' différence assignable en ligue 

 droite (*), de sorte qu'on a, suivant la notation de Legemlre pour les ares 



{*) Comptes rendus, tonieXVII, page 84o. 



